GIMNAZIU. Matematică -Geometrie –Numere PITAGOREICE. RECIPROCA Teoremei lui PITAGORA -teorie, exemple și probleme rezolvate:
RECIPROCA TEOREMEI lui PITAGORA:
Dacă într-un triunghi pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic:
Dacă BC² = AB² + AC² => m(<BAC)=90°.
EXEMPLU -Problemă rezolvată cu RECIPROCA teoremei lui Pitagora (R.T.P): Un triunghi are lungimile laturilor AB=36 cm, AC=27 cm și BC=45 cm. Să se determine măsura celui mai mare unghi al triunghiului.
REZOLVARE:
O să aplicăm Reciproca teoremei lui Pitagora. Alegem latura cu lungimea cea mai mare: BC>AB>AC. Verificăm dacă 45²=36²+27² =>2025=1296+729 =>2025=2025(adevărat). Așadar BC² = AB² + AC² =>(R.T.P) m(<BAC)=90°. Măsura celui mai mare unghi al triunghiului este de 90 de grade!
NUMERE PITAGOREICE (numere PITAGORICE):
OBS! NUMERE PITAGOREICE: reprezintă un triplet de numere naturale a, b și c care verifică relația a²+b²=c² (unde a, b și c sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic -teorema lui Pitagora: a,b-catete iar c-ipotenuză)!
-Singurele numere naturale consecutive care satisfac relația de mai sus sunt 3, 4 și 5: 3²+4²=5² (9+16=25 adevărat). Așadar 3,4 și 5 sunt NUMERE PITAGOREICE!
-Există o infinitate de numere pitagoreice!
-Alte exemple de NUMERE PITAGOREICE: 5,12,13 (5²+12²=13², 25+144=169); 6,8,10 (6²+8²=10², 36+64=100); 9,12,15 (9²+12²=15², 81+144=225); 12,16,20 (12²+16²=20², 144+256=400); 15,20,25 (15²+20²=25², 225+400=625) etc;
PROBLEME REZOLVATE cu RECIPROCA TEOREMEI lui PITAGORA:
Problema 1) Stabiliți dacă triunghiul ABC este dreptunghic cu m(<CAB)=90°, știind că:
*a) BC=13 cm, AB=5 cm și AC=12 cm;
*b) AC=8 cm , AB=15 cm și BC=17 cm;
*c) BC=34 cm, AB=15 cm și AC=30 cm;
*d) AB=9 cm , AC=40 cm și BC=41 cm.
Problema 2) Stabiliți dacă triunghiul ABC este dreptunghic cu m(<BAC)=90°, știind că:
*a) BC=10√5 cm, AB=6√2 cm și AC=8√3 cm;
*b) AB=3√3 cm , AC=4√3 cm și BC=5√3 cm;
REZOLVARE PROBLEMA 1:
a) O să aplicăm Reciproca teoremei lui Pitagora. Alegem latura cu lungimea cea mai mare: BC>AC>AB. Verificăm dacă BC² = AC² + AB²: 13²=12²+5² =>169=144+25 =>169=169(adevărat). Așadar BC este ipotenuza iar AB și AC sunt catetele (unghiul format de cele două catete este drept -are măsura de 90 de grade: BC² = AC² + AB² =>(R.T.P) m(<CAB)=90°.
b) BC>AB>AC. Verificăm dacă 17²=15²+8² =>289=225+81 =>289=306(FALS). Așadar triunghiul nu este dreptunghic.
c) O să aplicăm Reciproca teoremei lui Pitagora. Alegem latura cu lungimea cea mai mare: BC>AC>AB. Verificăm dacă 34²=30²+15² =>1156=900+225 =>1156=1125(fals). Așadar triunghiul nu este dreptunghic.
d) Alegem latura cu lungimea cea mai mare: BC>AC>AB. Verificăm dacă BC² = AC² + AB²: 41²=40²+9² =>1681=1600+81 =>1681=1681(adevărat) =>(R.T.P) m(<CAB)=90°.
REZOLVARE PROBLEMA 2:
a) O să aplicăm Reciproca teoremei lui Pitagora. Alegem latura cu lungimea cea mai mare: BC>AC>AB.
Verificăm dacă (10√5)²=(8√3)²+(6√2)² =>100·5=64·3+36·2 =>500=192+72(fals). Așadar triunghiul nu este dreptunghic.
b) Cum BC>AC>AB. Verificăm dacă (5√3)²=(4√3)²+(3√3)² =>25·3=16·3+9·3 =>75=48+27 =>75=75(adevărat). Așadar BC este ipotenuza iar AC și AB sunt catetele (unghiul format de cele două catete este drept -are măsura de 90 de grade: BC² = AC² + AB² =>(R.T.P) m(<BAC)=90°.
VEZI ȘI –Teorema lui PITAGORA:
În orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei (latura opusă unghiului drept):
PROBLEME REZOLVATE cu TEOREMA LUI PITAGORA:
Problema 1) Calculați lungimile laturilor necunoscute din figurile de mai jos:
Problema 2) Aflați lungimea unui dreptunghi ce are lățimea egală cu 8√5 cm și diagonala 32 cm.
- REZOLVARE PROBLEME:
Q&A MATEMATICA -ajutor gratuit la mate pe facebook:
-Un alt proiect drag mie este grupul de facebook: „Q&A matematica -ajutor tema mate Romania”, proiectul pe care l-am creat acum ceva ani. Grupul a ajuns la peste 25000 de membri.
-În acest grup, elevi și părinți care nu știu să rezolve o problemă la mate, pot cere ajutorul în grup postând o poză cu exercițiul pe care nu știu să îl rezolve. Cu siguranță cineva din grup vă va oferi ajutorul!
*VEZI când vine vacanța aici: CALENDAR AN SCOLAR 2021-2022 (STRUCTURA NOULUI AN SCOLAR)
Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG
