#ExercitiiRezolvateMatematicaLiceu

Siruri marginite. Siruri monotone (teorie si exercitii rezolvate matematica -liceu)

ȘIRURI MĂRGINITE

DEF 1: Se spune că șirul (xn) este mărginit superior (MAJORAT) dacă există b∈R astfel încât xn≤b, ∀n.

DEF 2: Se spune că șirul (xn) este mărginit inferior (MINORAT) dacă există a∈R astfel încât a≤xn , ∀n.

DEFINIȚIE: SE SPUNE CĂ ȘIRUL (xnESTE MĂRGINIT DACĂ EXISTĂ NUMERELE REALE a,b∈R astfel încât a≤xn≤b , ∀n.

OBSERVAȚIE: Prin urmare un șir este mărginit dacă există un interval închis [a,b], a,b∈R în care se află toți termenii șirului. Șirul (xnESTE MĂRGINIT <=> (∃)M>0 astfel încât |xn|≤M, ∀n.

DEFINIȚIE: SE Un șir care nu este mărginit se numește NEMĂRGINIT.

EXEMPLE -exerciții rezolvate (mărginire):

Să se studieze mărginirea șirurilor:

  1. xn=1/n, n≥1.
  2. xn=1+(-1)n, n≥1.

REZOLVARE 1): xn=1/n, n≥1. R: Cum n≥1 => (1/n)≤1 =>xn≤1. Este evident că (1/n)>0=>xn>0. Cum 0<xn≤1 => (xn) ESTE MĂRGINIT.

REZOLVARE 2): xn=1+(-1)n, n≥1. R: Dacă n=2k, k∈N* (n este par) =>xn=1+1=2. Dacă n=2k+1, k∈N (n este impar) =>xn=1+(-1)=1-1=0. Prin urmare xn∈[0,2]∀n => (xn) ESTE MĂRGINIT.


ȘIRURI MONOTONE

Pentru a stabili monotonia unui șir se calculează diferența a doi termeni consecutivi (xn+1 – xn) sau în cazul în care termenii sunt pozitivi se face câtul a doi termeni consecutivi (xn+1 / xn). Avem rezultatele:

  • Dacă xn+1 – xn<0, ∀n, atunci ȘIRUL este STRICT DESCRESCĂTOR (xn+1 < xn);
  • Dacă xn+1 – xn>0, ∀n, atunci ȘIRUL este STRICT CRESCĂTOR (xn+1 > xn);
  • Dacă xn+1 – xn≤0, ∀n, atunci ȘIRUL este DESCRESCĂTOR (xn+1 ≤ xn);
  • Dacă xn+1 – xn≥0, ∀n, atunci ȘIRUL este CRESCĂTOR (xn+1 ≥ xn).

Dacă xn>0 atunci calculăm raportul R=(xn+1 / xn),∀n. Îl comparăm pe R cu 1 și obținem situațiile:

  • Dacă R<1 atunci ȘIRUL xn este STRICT DESCRESCĂTOR;
  • Dacă R>1 atunci ȘIRUL xn este STRICT CRESCĂTOR;
  • Dacă R≤1 atunci ȘIRUL xn este DESCRESCĂTOR;
  • Dacă R≥1 atunci ȘIRUL xn este CRESCĂTOR.

EXEMPLE -exerciții REZOLVATE (monotonie):

Să se studieze monotonia șirurilor date prin termenul general xn:

IMG_20190913_0001-1


FIȘĂ DE RECAPITULARE -ȘIRURI (analiză matematică -clasa a 11-a):

Analiza-matematica-fisa-de-recapitulare-siruri-1Analiza-matematica-fisa-de-recapitulare-siruri-2

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG

Categorii:#ExercitiiRezolvateMatematicaLiceu, #JitaruIonelBLOG

Etichetat ca:, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Lasă un răspuns

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.