CLASA a 6-a (matematică, algebră, gimnaziu) -EXERCIȚII REZOLVATE CU MULȚIMI +TESTE:

Recapitulare și 2 TESTE din CAPITOLUL MULȚIMI: descriere şi notaţii, elementele unei mulţimi, relaţia dintre element şi multime, relaţia dintre două mulţimi –submulţime; Mulţimile N şi N*; Operaţii cu mulţimi: reuniunea, intersecţie, diferenţa; Mulţimi finite şi mulţimi infinite.

Găsiți în acest articol tot ce aveți nevoie pentru o notă bună la testul din MULȚIMI (definiții, exemple și exerciții rezolvate din capitolul MULȚIMI): Mulțimea numerelor naturale, Submulțimi și OPERAȚII CU MULȚIMI.

Lecția 1) Mulțimi. Mulțimea numerelor naturale -definiții, exemple, exerciții rezolvate și o fișă de lucru cu exerciții propuse:

Prin MULȚIME înțelegem o grupare de obiecte având aceeași proprietate -numite ELEMENTELE MULȚIMII. Mulțimile se notează cu litere MARI, iar elementele mulțimii se notează cu litere mici, simboluri, numere etc.

MULȚIMILE POT FI DESCRISE în mai multe moduri:

• prin enumerarea tuturor elementelor între acolade. EXEMPLU: A={0,2,4,6,8}. Citim „Mulțimea A este formată din elementele 0,2,4,6 și 8”;
• prin enumerarea tuturor elementelor în interiorul unei linii curbe închise numită DIAGRAMA VENN-EULER:

CITIM-„Mulțimea C conține elementele 2,4,9 și 7”.

• prin enumerarea unei proprietăți caracteristică elementelor mulțimii. EXEMPLU: B={x/ x este cifra para}. Citim „”Mulțimea B este formată din elementele x cu proprietatea că x este cifră pară”.

CARDINALUL UNEI MULȚIMI:
Numărul de elemente ale unei mulțimi M se numește cardinalul mulțimii M și se notează card M.

EXEMPLU: Mulțimea A={1,3,5,7,9} conține 5 elemente, așadar card A=5.

APARTENENȚA și NEAPARTENENȚA unui element la o mulțime(∈,∉):

Dacă M este o mulțime și x este un element din mulțimea M, atunci vom scrie x∈M și vom citi „x aparține mulțimii M”. Dacă elementul x nu se află în mulțimea M, atunci vom scrie x∉M și vom citi „x nu aparține mulțimii M”.

EXEMPLU: M={0,10,100,1000,10000}. Avem 0∈M, 10∈M etc. Însă 25 nu aparține mulțimii M și notăm 25∉M.

MULȚIMEA VIDĂ:
Mulțimea care nu are niciun element se numește MULȚIMEA VIDĂ și se notează cu Ø.

MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE:

Mulțimea ale cărei elemente sunt toate numerele naturale se numește MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE și se notează cu N. N={0,1,2,3,4…}. Mulțimea N* se numește MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE NENULE și conține toate numerele naturale diferite de zero. N*={1,2,3,4…}. N și N* sunt MULȚIMI numerice INFINITE.
*O rugăminte am și eu: Dă te rog un share -o distribuire(la acest articol și la articolele postate pe acest blog) pe facebook în diverse grupuri(sau pe alte rețele de socializare) ca să știe cât mai mulți de existența acestor materiale! MULȚUMESC!

LECȚIA 1) EXERCIȚII REZOLVATE:

EX.1) Enumerați elementele următoarelor mulțimi și precizați cardinalul acestora:

a) A={x/x este literă a cuvântului „algebră”};

b) B={x este număr natural/ x<7};

c) C={x∈N/ 2<x≤8};

d) D={x∈N*/ 0≤x≤4};
EX. 2) Se consideră mulțimea M={a,c,e,g,i,k}. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:

a)c∈M; b)i∉M; c)cardM=9; d)e∉M;
EX. 3) Se consideră mulțimea F={0,1,2,5}. Determinați următoarele mulțimi:

a)A={x/x=3a+5,a∈F}; b)B={x/x=a³,a∈F}.

*Mă numesc Jitaru Ionel, sunt profesor de matematică iar în timpul liber lucrez cu pasiune la acest blog (www.profesorjitaruionel.com), oferind în mod gratuit acces la rezolvări de variante, lecții de mate (liceuși gimnaziu) și tot ce ține în general de BAC și Evaluarea Națională la matematică dar și la celelalte materii de examen! Tot pe acest blog găsiți și materiale legate de examenele pentru profesori (de TITULARIZARE și DEFINITIVARE)!

REZOLVARE EX.1):

a) A={x/x este literă a cuvântului „algebră”}={a,l,g,e,b,r,ă}. card A=7.

b) B={x este număr natural/ x<7}={0,1,2,3,4,5,6}. card B=7.

c) C={x∈N/ 2<x≤8}={3,4,5,6,7,8}. card C=6.

d) D={x∈N*/ 0≤x≤4}={1,2,3,4}. card D=4.

REZOLVARE EX.2): M={a,c,e,g,i,k}

a)c∈M-adevărat; b)i∉M-fals; c)cardM=9-fals; d)e∉M-fals.

*Am creat acest grup de facebook pentru ajutor gratuit la matematică Q&A Matematica: ajutor tema matematica Romania

REZOLVARE EX.3): F={0,1,2,5}

a)A={x/x=3·a+5,a∈F}.

a∈F =>a=0=>x=3·0+5=0+5=5;

a∈F =>a=1=>x=3·1+5=3+5=8;

a∈F =>a=2=>x=3·2+5=6+5=11;

a∈F =>a=5=>x=3·5+5=15+5=20;

b)B={x/x=a³,a∈F}.

a∈F =>a=0=>x=0³=0·0·0=0;

a∈F =>a=1=>x=1³=1·1·1=1;

a∈F =>a=2=>x=2³=2·2·2=8;

a∈F =>a=5=>x=5³=5·5·5=125.

VEZI ȘI LECȚIA:

• UNGHIUL. CLASIFICAREA UNGHIURILOR. UNGHIURI CONGRUENTE

TEMA 1. FIȘĂ DE LUCRU:

*O să TE ROG să dai un LIKE la pagina mea de FACEBOOK și o distribuire la acest articol: facebook.com /ProfesorJitaruIonelBlog

EX.1) Enumerați elementele următoarelor mulțimi și precizați cardinalul acestora:

a) A={x/x este literă a cuvântului „matematică”};

b) B={x este număr natural/ x<6};

c) C={x∈N/ 12<x≤18};

d) D={x∈N*/ 0≤x<2};

EX. 2) Se consideră mulțimea M={b,d,f,h,j}. Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:

a)c∉M; b)j∈M; c)card M=5; d)d∉M;

EX. 3) Se consideră mulțimea F={0,2,3,7}. Determinați următoarele mulțimi:

a)A={x/x=9·a+2,a∈F}; b)B={x/x=a²,a∈F}.

Lecția 2)Relații între mulțimi -egalitate, incluziune (SUBMULȚIMI) -definiții, exemple, exerciții rezolvate și o fișă de lucru cu exerciții propuse:

EGALITATEA MULȚIMILOR:

Definiție -Două mulțimi sunt EGALE(=) dacă au aceleași elemente.

Exemplu: Fie mulțimea A={1,3,5} și mulțimea B={5,3,1} .Mulțimile A și B sunt EGALE(nu contează ordinea în care sunt trecute elementele în mulțime). NOTĂM A=B.

Dacă A și B nu sunt egale notăm A≠B (citim „mulțimea A nu este egală cu B” sau „mulțimea A este DIFERITĂ de B”).

Exemplu: Fie mulțimea A={11,19,35} și mulțimea B={0,1} .Mulțimile A și B NU sunt EGALE.

SUBMULȚIMI:

Definiție: Spunem că mulțimea A este SUBMULȚIME a mulțimii B dacă orice element care aparține mulțimii A aparține și mulțimii B. NOTĂM A⊂B și citim „mulțimea A este INCLUSĂ în mulțimea B” sau „mulțimea A este submulțime a mulțimii B”. În caz contrar spunem că mulțimea A nu este submulțime a mulțimii B și notăm A⊄B (citim „mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B” sau „A nu este submulțime pentru B”).

Exemple: Pentru A={2,4,6} si B={1,2,3,4,5,6} =>A⊂B.

Pentru A={1,2,3} si B={0,2,9,15} =>A⊄B.
Să ne reamintim! a)Numărul de elemente ale unei mulțimi M se numește cardinalul mulțimii M și se notează card M. EXEMPLU: Mulțimea A={1,2,6,7,19} conține 5 elemente, așadar card A=5. b)Mulțimea care nu are niciun element se numește MULȚIMEA VIDĂ și se notează cu Ø.
OBSERVAȚII SUBMULȚIMI! a)Orice mulțime este propria ei submulțime; b)Mulțimea vidă este submulțime pentru orice mulțime; c)O mulțime A cu n elemente, unde n este număr natural, admite 2^n (2 la puterea n) SUBMULȚIMI! Exemplu: Câte submulțimi admite mulțimea B={0,5,9,10}? R:Mulțimea B admite 2 la puterea 4 submulțimi =16 submulțimi. d)Două mulțimi A și B sunt egale dacă și numai dacă A⊂B și B⊂A!

LECȚIA 2) EXERCIȚII REZOLVATE:

EX.1) Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:

a){i,j,k,l}={l,i,j,k,m}; b){1,3,5,7}≠{1,3,5,9}; c){m,ă}⊂{t,e,m,ă}.

EX.2) Precizați câte submulțimi conține mulțimea A={0,5,10,15,20,200}.

EX.3) Scrieți toate submulțimile mulțimii A={1,2,3}.

EX.4) Fie mulțimile C={x∈N*/x≤4} și D={z∈N/z=4-x,x∈C}. Verificați dacă C≠D.

EX.5) Determinați cardinalul mulțimii E dacă mulțimea E are 32 de submulțimi.

*O să TE ROG să dai un LIKE la pagina mea de FACEBOOK și o distribuire la acest articol: facebook.com /ProfesorJitaruIonelBlog*

REZOLVARE EX.1):

a){i,j,k,l}={l,i,j,k,m} -FALS;

b){1,3,5,7}≠{1,3,5,9} -ADEVĂRAT;

c){m,ă}⊂{t,e,m,ă}-ADEVĂRAT.

REZOLVARE EX.2) A={0,5,10,15,20,200}:

cardA=6. Mulțimea A conține 6 elemente=> Mulțimea A admite „2 la puterea a-6-a” submulțimi =2•2•2•2•2•2= 64 de submulțimi.

REZOLVARE EX.3) A={1,2,3}:

Submulțimile lui A sunt: A1={1}, A2={2}, A3={3}, A4={1,2}, A5={1,3}, A6={2,3}, A7={1,2,3} și A8={Ø}. Sunt în total 8 submulțimi. Verificarea numărului corect de submulțimi se face ca la exercițiul 2: A={1,2,3}=>Mulțimea A conține 3 elemente=> Mulțimea A admite „2 la puterea a-3-a” submulțimi =2•2•2= 8 submulțimi.

REZOLVARE EX.4) C={x∈N*/x≤4} și D={z∈N/z=4-x,x∈C}:

C={x∈N*/x≤4}={1,2,3,4}.

D={z∈N/z=4-x,x∈C}

x=1=>z=4-x=4-1=>z=3;

x=2=>z=4-x=4-2=>z=2;

x=3=>z=4-x=4-3=>z=1;

x=4=>z=4-x=4-4=>z=0 =>D={3,2,1,0}. Cum C={1,2,3,4}=>C≠D.

REZOLVARE EX.5) Mulțimea E are 32 de submulțimi. Dar numărul de submulțimi ale unei mulțimi este egal cu „2 la puterea n”, unde n reprezinta cardinalul acelei mulțimi. Așadar 2^n=32=>n=5. (2^n înseamnă „2 la puterea n”. Cum „2 la puterea a 5-a” este 32 rezultă că n este egal cu 5).

TEMA 2. FIȘĂ DE LUCRU:

EX.1) Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:

a){a,c,f,l}={l,a,f,c}; b){2,13,9,7}≠{2,13,5,9}; c){t,o}⊂{m,a,t,e}.

EX.2) Precizați câte submulțimi conține mulțimea A={10,25,100}.

EX.3) Scrieți toate submulțimile mulțimii A={7,11,13} și mulțimii B={0,2,4,6}.

EX.4) Fie mulțimile C={x∈N*/x≤6} și D={t∈N/t=7-x,x∈C}. Verificați dacă C≠D.

EX.5) Determinați cardinalul mulțimii E dacă mulțimea E are 64 de submulțimi.

LECȚIA 3) Operații cu mulțimi(reuniunea, intersecția, diferența, produsul cartezian) -definiții, exemple, exerciții rezolvate și o fisă de lucru cu exerciții propuse(LA FINAL GĂSIȚI și 2 MODELE DE TESTE din capitolul MULȚIMI):

REUNIUNEA MULȚIMILOR:

Reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea notată A∪B (citim „A reunit cu B”), care este formată din toate elementele celor două mulțimi(cele comune luate o singură dată).

• REUNIUNEA: A∪B={x/x∈A sau x∈B};
• EXEMPLU: Pentru A={2,5,7} și B={1,2,5,8}=>A∪B={1,2,5,7,8}.

INTERSECȚIA MULȚIMILOR:

Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea notată A∩B (citim „A intersectat cu B”), care este formată din elementele COMUNE celor două mulțimi.

• INTERSECȚIA: A∩B={x/x∈A și x∈B};
• EXEMPLU: Pentru A={1,2,3,4,5} și B={1,3,9,12}=>A∩B={1,3}.

DIFERENȚA MULȚIMILOR:

Diferența mulțimilor A și B este mulțimea notată A\B (citim „A minus B”), care este formată din elementele primei mulțimi care nu se găsesc în a doua mulțime.Putem nota și A-B.

• DIFERENȚA: A\B={x/x∈A și x∉B};
• EXEMPLU: Pentru A={11,12,13,14,15} și B={7,9,11,14,18,20}=> Prin A\B(sau A-B) înțelegem mulțimea formată din elementele care se găsesc în mulțimea A și nu se găsesc în mulțimea B. Adică A\B=A-B={12,13,15}. Prin B\A(sau B-A) înțelegem mulțimea formată din elementele care se găsesc în B și nu se găsesc în A. Adică B\A=B-A={7,9,18,20}.

*Mă numesc Jitaru Ionel, sunt profesor de matematică iar în timpul liber lucrez cu pasiune la acest blog (www.profesorjitaruionel.com), oferind în mod gratuit acces la rezolvări de variante, lecții de mate (liceuși gimnaziu) și tot ce ține în general de BAC și Evaluarea Națională la matematică dar și la celelalte materii de examen! Tot pe acest blog găsiți și materiale legate de examenele pentru profesori (de TITULARIZARE și DEFINITIVARE)!*

PRODUSUL CARTEZIAN:

Produsul cartezian (AXB -citim „A ori B”) este mulțimea formată din toate perechile ordonate formate luând primul element din prima mulțime și al doilea element din a doua mulțime.

• AxB={(a,b)/a∈A și b∈B};
• Exemplu: Pentru A={2,6,9} și B={0,2,8,10}=> AxB={(2,0),(2,2),(2,8),(2,10),(6,0),(6,2),(6,8),(6,10),(9,0),(9,2),(9,8),(9,10)}.

*O rugăminte am și eu: Dă te rog un share -o distribuire(la acest articol și la articolele postate pe acest blog) pe facebook în diverse grupuri(sau pe alte rețele de socializare) ca să știe cât mai mulți de existența acestor materiale! MULȚUMESC!*

LECȚIA 3) EXERCIȚII REZOLVATE CU OPERAȚII CU MULȚIMI:

EX.1) Se consideră mulțimile A={e,f,g} și B={a,e,g,h}.

Determinați:

a)A∪B; b)A∩B; c)B-A; d)A\B.

EX.2) Se consideră mulțimile A={0,2,4,6} și B={2,3,4}.Determinați:

a)A∪B; b)A∩B; c)B-A; d)A\B; e)BXA; f)AXB.

EX.3) Fie mulțimile C={x∈N*/x≤4} și D={x∈N/x<3}. Verificați dacă:

(D∩C)\D=(D\C)∩D.

EX.4) Determinați mulțimile E și F dacă îndeplinesc simultan condițiile:

E∪F={3,4,5,6,7,8}, E∩F={3,4,5} și E\F={6,7}.

*O să TE ROG să dai un LIKE la pagina mea de FACEBOOK și o distribuire la acest articol: facebook.com /ProfesorJitaruIonelBlog*

REZOLVARE EX.1): A={e,f,g} și B={a,e,g,h}.

a)A∪B={a,e,f,g,h};

b)A∩B={e,g};

c)B-A={a,h};

d)A\B={e}.

REZOLVARE EX.2): A={0,2,4,6} și B={2,3,4}.

a)A∪B={0,2,3,4,6};

b)A∩B={2,4};

c)B-A={3};

d)A\B={0,6};

e)BXA={(2,0),(2,2),(2,4),(2,6),(3,0),(3,2),(3,4),(3,6),(4,0),(4,2),(4,4),(4,6)};

f)AXB={(0,2),(0,3),(0,4),(2,2),(2,3),(2,4),(4,2),(4,3),(4,4),(6,2),(6,3),(6,4)}.

REZOLVARE EX.3): C={x∈N*/x≤4} și D={x∈N/x<3}.

Așadar C={1,2,3,4} și D={0,1,2}.

D∩C={1,2}, D={0,1,2} =>(D∩C)\D={∅}.

D\C={0}, D={0,1,2} =>(D\C)∩D={0}.

În concluzie: (D∩C)\D≠(D\C)∩D.

REZOLVARE EX.4): E∪F={3,4,5,6,7,8}, E∩F={3,4,5} și E\F={6,7}:

E\F={6,7} =>Doar mulțimea E conține elementele 6 și 7.

E∩F={3,4,5} =>Elementele 3, 4 și 5 se găsesc și în E și în F. Din reuniune ar rămâne că 8 se găsește în F.

Așadar E={3,4,5,6,7} și F={3,4,5,8}.

• AJUTĂ ȘI TU LA DEZVOLTAREA PROIECTULUI #JitaruIonelBLOG!

• Dacă apreciezi munca mea la acest blog atunci poți ajuta contribuind la costul anual de întreținere al blogului. Până anul trecut am plătit singur această taxă către wordpress în fiecare an (în jur de 300 de euro!). Timp de 8 ani am investit peste 3000 de euro în acest blog (pe taxa anuala si pe reclamele de promovare a articolelor astfel incat lectiile gratuite sa fie vazute de cat mai multi elevi; pe lângă miile de ore investite în lecțiile cu acces gratuit!).

• Poți ajuta cu orice sumă dorești! Ai nevoie doar de un card bancar:

• https:// revolut.me/ionelblog

• Pașii de urmat sunt simpli: click pe link, introdu suma în lei, alege plata cu cardul și asta este tot (nu ai nevoie de revolut pentru a face asta)!
• revolut.me/ionelblog
• Întrucât suntem o comunitate mare de oameni am zis să cer ajutorul vostru pentru plata acestei taxe (de exemplu dacă 150 de oameni contribuie cu 10 lei taxa este plătită). Această taxă ajută în primul rând la stocarea nelimitată de fișiere PDF în site (pe lângă altele -domeniu, siguranța că acest site nu o să pice, acces la diferite aplicații etc.), ceea ce este foarte important pentru ca acest blog să continuie să funcționeze normal!
• https://revolut.me/ionelblog

• ATENȚIE! Accesul rămâne gratuit indiferent dacă contribuiți sau nu dar aș aprecia foarte mult orice contibuție! Vă mulțumesc!

TEMA 3. FIȘĂ DE LUCRU:

EX.1) Se consideră mulțimile A={t,e,m,a} și B={m,a,u,f,i}.

Determinați:

a)A∪B; b)A∩B; c)B-A; d)A\B.

EX.2) Se consideră mulțimile A={1,3,5,7} și B={2,3,7,14}.

Determinați: a)A∪B; b)A∩B; c)B-A; d)A\B; e)BXA; f)AXB.

EX.3) Fie mulțimile C={x∈N*/x≤2} și D={x∈N/x<4}. Calculați:

a)(D∩C)\D; b)(D\C)∩D.

EX.4) Determinați mulțimile E și F dacă îndeplinesc simultan condițiile:

E∪F={13,14,15,16,17,18}, E∩F={13,14,15} și E\F={16,17}

4) TESTE -MULȚIMI:

Aveți mai jos 2 modele de TESTE de evaluare din capitolul „MULȚIMI. OPERAȚII CU MULȚIMI” cu răspunsuri la final (clasa a 6-a):

• click pe link pentru teste-> Test de evaluare: Multimi.Operatii cu multimi -2 modele cu raspunsuri la final (clasa a 6-a)

TEST 1:

DESPRE MINE:

•   În mai 2014 am început acest proiect (#JitaruIonelBLOG -un „blog dedicat elevului”) din dorința de a ajuta în mod gratuit cât mai mulți elevi (dar și părinți) cu materia ce sperie pe toată lumea: MATEMATICA! La acest proiect lucrez SINGUR, din pasiune, în timpul meu liber! Iar munca mea este răsplătită prin succesul de care se bucură acest blog, milioane de utilizatori au accesat materialele postate de mine. Vă mulțumesc!
• Mă bucur să vă anunț că astăzi am ajuns la 87 de MILIOANE DE VIZITE pe blog, anul 2022 fiind cel mai bun ca număr de vizualizări! VĂ MULȚUMESC!
• 

TEST 2:

RĂSPUNSURI TESTE:

Răspunsuri Test 1: A 1(A) 2(F) 3(A) 4(A); B 1(b) 2(c) 3(a) 4(d); C 1(A) 2(F) 3(F) 4(A); D 1(c) 2(e) 3(a) 4(b); E 1(a,b,c,d,e,f,g,h) 2(c,e,h) 3(a,b,g) 4(d,f); F A(3,5,6,7) B(2,4,5,6).

Răspunsuri Test 2: A 1(F) 2(A) 3(F) 4(A); B 1(c) 2(b) 3(d) 4(a); C 1(F) 2(A) 3(F) 4(A); D 1(b) 2(d) 3(e) 4(a); E 1(1,2,3,4,5,6,7,8) 2(3,6,8) 3(1,5) 4(2,4,7); F A(0,1,2,3,4) B(2,3,5,6).

Nu uita sa imi dai LIKE pe facebook:

• facebook.com/ ProfesorJitaruIonel

Intra in acest grup de facebook, pentru ajutor gratuit la mate:

• GRUPUL facebook Q&A Matematica: Daca ai un exercitiu de MATEMATICA si nu stii sa il rezolvi, noi te ajutam!

TESTELE ÎN FORMAT PDF:

• TESTE-multimi.pdf

*VEZI când vine vacanța aici: CALENDAR AN SCOLAR 2022-2023 (STRUCTURA NOULUI AN SCOLAR)

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG