Acces gratuit la lecții de MATEMATICĂ (clasa a 8-a): Recapitulare din capitolul FUNCȚII (teorie, exemple, exerciții REZOLVATE și TEST) –platforma JitaruIonelBLOG

Recapitulare din capitolul FUNCȚII: reprezentarea geometrică a graficului unei funcții, punctul de intersecție a două funcții liniare, determinarea punctelor de intersecție a graficului funcției cu axele de coordonate Ox și Oy, funcții egale, apartenența unui punct la graficul unei funcții, lege de corespondență (cu formule, exemple și exerciții REZOLVATE).

Tot în acest articol găsiți un TEST din capitolul FUNCȚII (clasa a 8-a) ce conține toate cerințele ce se pot da la Evaluarea Națională din acest capitol! Testul este REZOLVAT!

A) NOȚIUNEA DE FUNCȚIE -definiție, domeniu de definiție, codomeniu, lege de corespondență, valoarea funcției f într-un punct x:

Fie două mulțimi nevide A și B. Dacă printr-un procedeu facem ca fiecărui element din mulțimea A să îi corespundă un singur element din mulțimea B, spunem că am definit o funcție de la A la B și notăm:

• f:A->B (citim „funcția f definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B”);
• Mulțimea A se numește DOMENIU DE DEFINIȚIE;
• Mulțimea B se numește CODOMENIU sau mulțimea în care funcția ia valori;
• y=f(x) se numește LEGEA DE CORESPONDENȚĂ.

OBS: Dacă x∈A, elementul f(x)∈B se numește imaginea lui x prin funcția f sau VALOAREA funcției f în punctul x.

EXEMPLU: EX. 1) Fie f:{-1,0,1}->{1,2,3}, f(x)=x+2. Precizați domeniul de definiție, codomeniul și calculați valoarea funcției în punctul x=0.

REZOLVARE EX. 1):

Domeiul de definiție este mulțimea {-1,0,1}, codomeniul este mulțimea {1,2,3} iar valoarea funcției în punctul x=0 este: f(0)=0+2=2.

B) MODURI DE DEFINIRE A UNEI FUNCȚII (diagramă, tabel, formulă):

Funcțiile pot fi descrise în diverse moduri:

a) printr-o DIAGRAMĂ

EXEMPLU: f:{10,20,30,40}->{15,25,35,45}

b) printr-un TABEL

EXEMPLU: f:{-2,-1,0,1,2}->{5,6,7,8,9}

c) printr-o FORMULĂ

EXEMPLU: f:{0,1,2}->R, f(x)=-2x+5.

C) FUNCȚIA NUMERICĂ: 

Funcția NUMERICĂ are DOMENIUL DE DEFINIȚIE și CODOMENIUL submulțimi ale lui R adică MULȚIMI DE NUMERE.

EXEMPLU: f:{1,2,3}->{5,9,13} este o funcție numerică.

D) IMAGINEA unei FUNCȚII:

Fie f:A->B o funcție. IMAGINEA FUNCȚIEI (sau mulțimea valorilor funcției) este mulțimea Im f={f(x)/x∈A}.

OBS: Imf⊆B.

EXEMPLU: EX. 2) Fie f:{-2,-1,0,1}->B, f(x)=-4x+6. Determinați mulțimea Imf.

REZOLVARE EX. 2):

Pentru a determina imaginea funcției(Imf) trebuie să calculăm mulțimea valorilor funcției folosind formula f(x)=-4x+6. Înlocuim în formulă pe x cu valorile din domeniul de definiție:

f(-2)=-4·(-2)+6=+8+6=14;

f(-1)=-4·(-1)+6=+4+6=10;

f(0)=-4·0+6=0+6=6;

f(1)=-4·1+6=-4+6=2;

Am obținut valorile 14, 10, 6 și 2, rezultă că Imf={2,6,10,14} (le-am trecut în ordine crescătoare).

EX. 3) Fie f:{-5,-3,0,7}->B, f(x)=-3x-2. Determinați mulțimea Imf.

REZOLVARE EX. 3):

Pentru a determina imaginea funcției(Imf) trebuie să calculăm mulțimea valorilor funcției folosind formula f(x)=-3x-2. Înlocuim în formulă pe x cu valorile din domeniul de definiție:

f(-5)=-3·(-5)-2=+15-2=13;

f(-3)=-3·(-3)-2=+9-2=7;

f(0)=-3·0-2=0-2=-2;

f(7)=-3·7-2=-21-2=-23;

Am obținut valorile 13, 7, -2 și -23, rezultă că Imf={-23,-2, 7,13} (le-am trecut în ordine crescătoare).

E) FUNCȚII egale:

Două funcții f:A->B și h:E->F sunt egale dacă A=E. B=F și f(x)=h(x), oricare ar fi x∈A. Notăm f=h.

F) APARTENENȚA UNUI PUNCT LA GRAFICUL UNEI FUNCȚII:

Fie f:A->B (A=domeniul de definiție și B=codomeniul lui f).

Mulțimea Gf={(x;f(x)) /x∈A} se numește GRAFICUL FUNCȚIEI f.

Orice punct P (având coordonate o abscisă=a și o ordonată=b) aparține graficului funcției f dacă f(abscisă)=ordonata, adică f(a)=b:

PROPRIETATEA DE MAI SUS ESTE VALABILĂ PENTRU ORICE TIP DE FUNCȚIE, așadar și pentru FUNCȚIA LINIARĂ f:R->R, f(x)=ax+b.

EX 1-Se consideră funcția f:R->R, f(x)=-3x+6. Verificați dacă: a)A(4,7)∈Gf;    b)B(2,0)∈Gf.

REZOLVARE a)Pentru a verifica dacă A(4,7)∈Gf trebuie să calculăm f(4). Dacă rezultatul este 7 atunci punctul A aparține lui Gf. Așadar f(4)=-3*4+6=-12+6=-6. =>A(4,7)∉Gf. 

b) Pentru a verifica dacă B(2,0)∈Gf trebuie să calculăm f(2). Dacă rezultatul este 0 atunci punctul B aparține lui Gf. Așadar f(2)=-3*2+6=-6+6=0. =>B(2,0)∈Gf. 

EX. 2-Fie Gf graficul funcției f:R->R, f(x)=2x-3. Dacă A(-2,7t)∈Gf atunci t=…?

REZOLVARE  A(-2,7t)∈Gf => f(-2)=7t. Dar f(-2)=2*(-2)-3=-4-3=-7. Egalăm cele două rezultate=> 7t=-7 =>t=-7:7=>t=-1.

G) REPREZENTAREA GEOMETRICĂ A GRAFICULUI UNEI FUNCȚII

REPREZENTAREA GEOMETRICĂ A GRAFICULUI UNEI FUNCȚII LINIARE ESTE O DREAPTĂ. Pentru a trasa o dreaptă avem nevoie de minim 2 puncte.

FUNCȚIA LINIARĂ f:R->R, f(x)=ax+b -Întrucât domeniul de definiție este R alegem să calculăm valoarea lui f în oricare două puncte din R. Exemplu și explicații mai jos la EX. 1.

EXERCIȚII REZOLVATE DATE LA EVALUAREA NAȚIONALĂ cu funcții în ANII ANTERIORI (+REPREZENTAREA GEOMETRICĂ A GRAFICULUI UNEI FUNCȚII):

• EX. 1)-EN -sesiunea iunie:

• REZOLVARE: EXPLICAȚII reprezentare grafică-Domeniul de definiție este R. Alegem să calculăm valoarea lui f în oricare două puncte din R: f(0)=2*0+3=0+3=3. Am obținut coordonatele primului punct notat A(0,3). Calculăm f(1)=2*1+3=2+3=5. Am obținut coordonatele celui de al doilea punct notat B(1,5). Reprezentăm cele două puncte în sistemul de coordonate XOY și trasăm o dreaptă care să treacă prin cele două puncte și prin axele Ox și Oy. Această dreaptă reprezintă REPREZENTAREA GEOMETRICĂ A GRAFICULUI FUNCȚIEI f.

• EX. 2)-EN -sesiunea specială:

• REZOLVARE -Puteam să rezolv ca mai sus (să aleg două puncte la întâmplare din R în care să calculez f). O altă metodă este să determinați punctele de intersecție a graficului funcției Gf cu axele Ox și Oy. Astfel obțineți tot 2 puncte necesare trasării lui Gf:

Urmeaza mai jos un TEST REZOLVAT complet din capitolul FUNCTII (clasa a 8-a)!

În mai 2014 am început acest proiect (#JitaruIonelBLOG -un „blog dedicat elevului”) din dorința de a ajuta în mod gratuit cât mai mulți elevi (dar și părinți) cu materia ce sperie pe toată lumea: MATEMATICA! La acest proiect lucrez SINGUR, din pasiune, în timpul meu liber! Iar munca mea este răsplătită prin succesul de care se bucură acest blog, milioane de utilizatori au accesat materialele postate de mine. Vă mulțumesc!

• AJUTĂ ȘI TU LA DEZVOLTAREA PROIECTULUI #JitaruIonelBLOG!

• Dacă apreciezi munca mea la acest blog atunci poți ajuta contribuind la costul anual de întreținere al blogului. Până în acest moment am plătit singur această taxă către wordpress în fiecare an (în jur de 300 de euro!). Timp de 8 ani am investit peste 3000 de euro în acest blog (pe taxa anuala si pe reclamele de promovare a articolelor astfel incat lectiile gratuite sa fie vazute de cat mai multi elevi; pe lângă miile de ore investite în lecțiile cu acces gratuit!).

• Poți ajuta cu orice sumă dorești! Ai nevoie doar de un card bancar:

• https:// revolut.me/ionelblog

• Pașii de urmat sunt simpli: click pe link, introdu suma în lei, alege plata cu cardul și asta este tot (nu ai nevoie de revolut pentru a face asta)!
• revolut.me/ionelblog
• ID revolut: @ionelblog

• SAU cont bancar (titular cont JITARU IONEL):

• RO26 BREL 0006 3007 6352 0100

• Întrucât suntem o comunitate mare de oameni am zis să cer ajutorul vostru pentru plata acestei taxe (de exemplu dacă 100 de oameni contribuie cu 20 lei taxa este plătită). Această taxă ajută în primul rând la stocarea nelimitată de fișiere PDF în site (pe lângă altele -domeniu, siguranța că acest site nu o să pice, acces la diferite aplicații etc.), ceea ce este foarte important pentru ca acest blog să continuie să funcționeze normal!

• https://revolut.me/ionelblog

• ATENȚIE! Accesul rămâne gratuit indiferent dacă contribuiți sau nu dar aș aprecia foarte mult orice contibuție! Vă mulțumesc!

H) Intersecțiile graficului unei funcții(Gf) cu axele de coordonate Ox(axa absciselor) și Oy(axa ordonatelor):

• INTERSECȚIA CU AXA ABSCISELOR(Gf∩Ox): se rezolvă ecuația f(x)=0. Așadar ax+b=0 => x=-b/a => A(-b/a;0).
• INTERSECȚIA CU AXA ORDONATELOR(Gf∩Oy): se calculează f(0). Așadar f(0)=b=> B(0;b).

EXEMPLU:  Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R->R, f(x)=2x+8 cu axele de coordonate.

Rezolvare:

 Nu uitați să folosiți butonul de search pentru a căuta anumite materiale dar și meniul blogului. Pe blogul meu găsiți lecții de matematică cu exerciții rezolvate de gimnaziu și liceu, modele rezolvate de Evaluare Națională și BAC, arhivă EDU de modele pentru toate materiile, și orice noutate ce ține de educație(calendare școlare, calendarul examenelor din fiecare an, concursuri școlare, simulări, sesiuni de examene, rezultate de la examene sau de la admitere și multe altele).

I) Test rezolvat din capitolul FUNCTII -clasa a 8-a:

Testul conține exerciții cu reprezentarea graficului unei funcții, apartenența unui punct la graficul unei funcții, determinarea punctului de intersecție dintre două funcții, reprezentarea a două funcții în același sistem XOY, determinarea unei legi de corespondență, sume de funcții, determinarea ariei triunghiului format de grafic și axe sau determinarea unor puncte de pe graficul unei funcții.

Am ales să rezolv un test din culegrea de clasa a 8-a de la Paralela 45, Consolidare, 2018. SURSĂ test-Culegere Consolidare 2018-Partea II-clasa a 8-a, editura PARALELA 45.

VEZI ȘI:

• Ministerul a publicat programa pentru SIMULAREA de Evaluare Nationala 2023 la Matematica si la Limba romana (clasa a 8-a)

• Ministerul Educatiei a publicat noi modele de Evaluare Nationala 2023 la Limba romana si la matematica. Vezi subiectele si baremele de corectare pentru testele de antrenament -clasa a 8-a

 În mai 2014 am început acest proiect (#JitaruIonelBLOG -un „blog dedicat elevului”) din dorința de a ajuta în mod gratuit cât mai mulți elevi (dar și părinți) cu materia ce sperie pe toată lumea: MATEMATICA! La acest proiect lucrez SINGUR, din pasiune, în timpul meu liber! Mă numesc Jitaru Ionel, sunt profesor de matematică iar în timpul liber lucrez cu pasiune la acest blog (www.profesorjitaruionel.com), oferind în mod gratuit acces la rezolvări de variante, lecții de mate (liceu și gimnaziu) și tot ce ține în general de BAC și Evaluarea Națională la matematică dar și la celelalte materii de examen! Tot pe acest blog găsiți și materiale legate de examenele pentru profesori (de TITULARIZARE și DEFINITIVARE)!

Q&A MATEMATICA -ajutor gratuit la mate pe facebook:

-Un alt proiect drag mie este grupul de facebook: „Q&A matematica -ajutor tema mate Romania”, proiectul pe care l-am creat acum ceva ani.

-Grupul a ajuns la peste 28000 de membri.

-În acest grup, elevi și părinți care nu știu să rezolve o problemă la mate, pot cere ajutorul în grup postând o poză cu exercițiul pe care nu știu să îl rezolve.

-Cu siguranță cineva din grup vă va oferi ajutorul!

VEZI ȘI:

• Lecții de matematică -clasa a 8-a -algebră și geometrie +pregătire Evaluare Națională

• EN VIII 2023 mate: SIMULĂRI JUDEȚENE de Evaluare Națională 2023 -la matematică și la Limba română

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG