Exerciții rezolvate -FACTOR COMUN (operații cu numere naturale). Găsiți în acest articol și exerciții cu sume Gauss și factor comun. Am adăugat 2 fișe de lucru cu exerciții propuse (fișa 2) și rezolvate (fișa 1):

Numărul a din suma a∙b+a∙c (respectiv diferența a∙b-a∙c) ce apare ca factor la fiecare termen îl vom numi FACTOR COMUN.

Să ne reamintim următoarele proprietăți:

• distributivitatea înmulțirii față de adunare: 
• a∙(b+c)=a∙b+a∙c
• distributivitatea înmulțirii față de scădere: 
• a∙(b-c)=a∙b-a∙c
• unde a, b, c sunt numere naturale cu b>c.

Scriind egalitățile de mai sus sub forma:

• a∙b+a∙c=a∙(b+c)
• a∙b-a∙c=a∙(b-c)
• spunem că am scos pe a factor comun.

SCOATEREA FACTORULUI COMUN (formule, exemple):

ATENȚIE! Scoaterea factorului comun se poate aplica și în cazul unei sume (diferențe) de mai mulți termeni:

• a∙b+a∙c-a∙d+a∙e=a∙(b+c-d+e)
• 11∙5+11∙9-11∙8+11∙4=11∙(5+9-8+4) =11∙(14-8+4)=11∙(6+4)=11∙10=110
• ATENȚIE! a∙b+a=a∙b+a∙1=a∙(b+1)
• 17∙9+17=17∙9+17∙1 =17∙(9+1)=17∙10=170.

EXERCIȚII PROPUSE -FIȘĂ DE LUCRU:

REZOLVARE FIȘĂ DE LUCRU:

• Am adăugat la finalul acestui articol și a doua fișă de lucru cu exerciții propuse. Tot spre final găsiți cele două fișe de lucru în format PDF pentru IMPRIMARE (print)! SPOR LA LUCRU!

EX. 1) Calculați utilizând factorul comun:

a) 4∙15+4∙45;

• R: 4∙15+4∙45=
• =4∙(15+45)=4∙60=
• =240.

b) 20∙47+20∙3;

• încercați singuri!
• R: 1000.

c) 30∙720-220∙30;

• R: 30∙720-220∙30=
• =30∙(720-220)=30∙500=
• =15000.

d) 3514∙1001-3514;

• R: 3514∙1001-3514=
• =3514∙(1001-1)=3514∙1000=
• =3514000.

e) 7756∙999+7756;

• încercați singuri!
• R: 7756000.

EX. 2) Calculați folosind scoatarea unui factor comun:

a) 37∙643+37∙612-255∙37;

• încercați singuri!
• R: 37000.

b) 6000∙684-83∙6000-6000;

• R: 6000∙684-83∙6000–6000=
• =6000∙(684-83-1)=6000∙600=
• =3600000.

• În mai 2014 am început acest proiect (#JitaruIonelBLOG -un „blog dedicat elevului”) din dorința de a ajuta în mod gratuit cât mai mulți elevi (dar și părinți) cu materia ce sperie pe toată lumea: MATEMATICA! La acest proiect lucrez SINGUR, din pasiune, în timpul meu liber!
• AJUTĂ ȘI TU LA DEZVOLTAREA PROIECTULUI #JitaruIonelBLOG! Dacă apreciezi munca mea la acest blog atunci poți ajuta contribuind la costul anual de întreținere al blogului. Până în acest moment am plătit singur această taxă către wordpress în fiecare an (în jur de 300 de euro!). Timp de 7 ani am investit peste 2500 de euro în acest blog (pe taxa anuala si pe reclamele de promovare a articolelor astfel incat lectiile gratuite sa fie vazute de cat mai multi elevi; pe lângă miile de ore investite în lecțiile cu acces gratuit!).
• Poți ajuta cu orice sumă dorești! Ai nevoie doar de un card bancar:
• https:// revolut.me/ionelblog
• Pașii de urmat sunt simpli: click pe link, introdu suma în lei, alege plata cu cardul și asta este tot (nu ai nevoie de revolut pentru a face asta)!
• revolut.me/ionelblog
• Întrucât suntem o comunitate mare de oameni am zis să cer ajutorul vostru pentru plata acestei taxe (de exemplu dacă 150 de oameni contribuie cu 10 lei taxa este plătită). Această taxă ajută în primul rând la stocarea nelimitată de fișiere PDF în site (pe lângă altele -domeniu, siguranța că acest site nu o să pice, acces la diferite aplicații etc.), ceea ce este foarte important pentru ca acest blog să continuie să funcționeze normal!
• https://revolut.me/ionelblog
• ATENȚIE! Accesul rămâne gratuit indiferent dacă contribuiți sau nu dar aș aprecia foarte mult orice contibuție! Vă mulțumesc!

EX. 3) Știind că x=10 și y-z=19, calculați:

a) 3∙x+5∙y-z∙5;

• R: 3∙x+5∙y-z∙5=
• =3∙x+5∙(y-z)=
• =3∙10+5∙19=
• =30+95=
• =125.

b) 7∙x∙y-7∙x∙z;

• R: 7∙x∙y-7∙x∙z=
• =7∙x∙(y-z)=
• =7∙10∙19=
• =70∙19=
• =1330.

EX. 4) Calculați următoarele sume:

a) S=2+4+6+…+100;

b) S=3+6+9+…+2013;

c) S=7+14+21+…+700;

ATENȚIE! Să ne reamintim SUMA LUI GAUSS (suma primelor n numere naturale nenule):

• nenul=diferit de zero;
• 

REZOLVARE EX. 4) Calculați următoarele sume:

a) S=2+4+6+…+100;

• R: S=2+4+6+…+100
• S=2∙1+2∙2+2∙3+…+2∙50
• S=2∙(1+2+3+…+50)
• S=2∙(50∙51:2)
• S=2∙(50∙51:2)
• S=2∙(2550:2)
• S=2∙1275
• S=2550.

b) S=3+6+9+…+2013;

• Încercați singuri c). Spre finalul acestui articol găsiți o a doua fișă de lucru pentru antrenament dar și cele două fișe în format PDF pentru IMPRIMARE!

Un alt exemplu de exercițiu ce se rezolvă cu sume Gauss -EX). Calculați:

• (4+8+12+…+2020):(2+4+6+…+1010);

• R: Prima sumă=4+8+12+…+2020.

• Observăm că 8-4=4, 12-8=4 așadar trebuie să scriem fiecare număr ca un produs ce îl conține pe 4 (apoi îl dăm factor comun pe 4).

• prima sumă=4∙1+4∙2+4∙3+…+4∙505

• îl dăm factor comun pe 4:

• 4∙(1+2+3+…+505)

• Aplicăm în paranteză formula pentru suma Gauss:

• 4∙(505∙506:2)

• 4∙(255530:2)

• 4∙127765

• prima sumă=511060.

• A doua sumă=2+4+6+…+1010.

• Observăm că 4-2=2, 6-4=2 așadar trebuie să scriem fiecare număr ca un produs ce îl conține pe 2 (apoi îl dăm factor comun pe 2).

• a doua sumă=2∙1+2∙2+2∙3+…+2∙505

• îl dăm factor comun pe 2:

• 2∙(1+2+3+…+505)

• Aplicăm în paranteză formula pentru suma Gauss:

• 2∙(505∙506:2)

• 2∙(255530:2)

• 2∙127765

• a doua sumă=255530.

• Așadar (4+8+12+…+2020):(2+4+6+…+1010)=

• 511060:255530 =2.

• OBSERVAȚII: În urma aplicării factorului comun în cele două paranteze am obținut

• (4+8+12+…+2020):(2+4+6+…+1010)=

• 4∙(1+2+3+…+505):[2∙(1+2+3+…+505)]

• Practic avem de împărțit 4 la 2 și o paranteză (1+2+3+…+505) la acceași paranteză (1+2+3+…+505). În acest caz răspunsul este tot 2 deoarece 4:2=2 iar împărțirea parantezelor identice este 1 (fără a calcula sumele din paranteză; când împarți un număr la el însuși răspunsul este întotdeauna 1).

• Așadar fără sume Gauss:

• 4∙(1+2+3+…+505):[2∙(1+2+3+…+505)]=

• =4:2 =2.

*VEZI ȘI LECȚIA: Teorie+ exercitii rezolvate- PUTERI. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Patrat Perfect. Cub Perfect

EX) Un exercițiu rezolvat cu factor comun cu puteri (după recapitularea lecției de mai sus):

• Arătați că numărul a =( 3²¹ +3²⁰ +3¹⁸) : 37  este pătrat perfect.

• R: Trebuie să dăm factor comun pe 3 la puterea cea mai mică(în paranteză):

• a =( 3²¹ +3²⁰ +3¹⁸) : 37

• Dăm factor comun pe 3¹⁸ în paranteză:

• a =3¹⁸ ∙( 3³ +3² +3⁰) : 37 =3¹⁸ ∙( 27 +9 +1) : 37

• a=3¹⁸ ∙37 : 37 =3¹⁸ ∙1=3¹⁸.

• 3¹⁸=3^9∙2=(3⁹)²= este pătrat perfect.

EXERCIȚII PROPUSE -FACTOR COMUN. Sume Gauss. FIȘĂ DE LUCRU 2:

FACTOR COMUN. Sume Gauss. FIȘE DE LUCRU în format PDF (pentru imprimare -PRINT):

• FIȘA 1: JitaruIonelBLOG-Factor comun. FISA DE LUCRU-1.PDF

• FIȘA 2:JitaruIonelBLOG-Factor comun. FISA DE LUCRU-2.PDF

*VEZI ȘI LECȚIA: Compararea puterilor (explicatii si exercitii rezolvate)

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG