FIȘĂ DE LUCRU CU EXPRESII DIN TESTELE DE ANTRENAMENT EDU

(pregătire EN clasa a 8-a)

EXERCIȚII REZOLVATE

1) Se consideră expresia:

E(x)=(x-1)²-(x-2)²+(1-x)²-(2-x)², unde x este număr real.

a) Arată că E(x)=4x-6, pentru orice număr real x.

b) Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația:

• 2-E(x)≤0.

2) Se consideră expresia:

E(x)=2(x+3)²-(2+x)(x-2)-2(5x+7), unde x este număr real.

a) Arată că E(-2)-8=0.

b) Demonstrează că:

E(x)≥7, pentru orice număr real x.

3) Se consideră expresia:

E(x)=(3x+4)²-(2x+1)², unde x este număr real.

a) Arată că E(1)+E(-1)=40.

b) Demonstrează că:

E(n) este multiplu al lui 5, pentru orice număr natural n.

4) Se consideră expresia:

E(x)=(x-1)²+(x+4)(x-3)-2(x²-4), unde x este număr real.

a) Arată că x²+x-12=(x+4)(x-3), pentru orice număr real x.

b) Demonstrează că:

E(x)= -x-3, pentru orice număr real x.

5) Se consideră expresia:

E(x)=(2x-1)²-(2x-4)(x+2)+(x+3)², unde x este număr real.

a) Arată că E(x)=3x²+2x+18, pentru orice număr real x.

b) Demonstrează că numărul natural A=E(n)+n este multiplu de 6, pentru orice număr natural n.

REZOLVARE FIȘĂ DE LUCRU:

REZOLVARE EX. 1) Se consideră expresia:

• E(x)=(x-1)²-(x-2)²+(1-x)²-(2-x)², unde x este număr real.

a) Arată că E(x)=4x-6, pentru orice număr real x.

• ATENȚIE! Pentru a rezolva expresia de mai sus trebuie să vă reamintiți FORMULELE DE CALCUL PRESCURTAT și DESFACEREA PARANTEZELOR (calcule cu numere reale reprezentate prin litere)!
• Mai exact, pentru expresia de mai sus, aveți nevoie de formula de calcul:
• (a – b)² =a² -2⋅a⋅b +b²
• (x – 1)² =x² -2⋅x⋅1 +1²=x² -2x +1.
• (x – 2)² =x² -2⋅x⋅2 +2²=x² -4x +4.
• (1 – x)² =1² -2⋅1⋅x +x²=1 -2x +x².
• (2 – x)² =2² -2⋅2⋅x +x²=4 -4x +x².
• Desfacerea parantezelor:
• Dacă în fața unei paranteze se află semnul PLUS atunci se copiază termenii din paranteza păstrând același semn (la desfacerea parantezelor).
• +(a-b+c)=a-b+c sau (a-b+c)=a-b+c (dacă în fața unei paranteze nu există niciun semn atunci se consideră că paranteza are semnul PLUS):
• +(1-x)²=+(1 -2x +x²)=1 -2x +x².
• Dacă în fața unei paranteze se află semnul MINUS atunci termenii din paranteză se copiază având semn opus (la desfacerea parantezelor).
• -(a-b+c)=-a+b-c 
• -(x-2)²= -(x² -4x +4)= -x² +4x -4.

b) Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația:

• 2-E(x)≤0.
• Pentru b) trebuie să vă reamintiți cum se rezolvă o inecuație în mulțimea numerelor reale R: Exercitii REZOLVATE cu Inecuatii in R (intervale nemarginite, simetrice).
• Când îl înlocuiți pe E(x) într-o inecuație (ecuație) trebuie să puneți PARANTEZE:
• 2 – E(x)=2- (4x-6) = 2-4x+6=8-4x.
• Așadar inecuația este 8-4x≤0.
• Când cerința este să rezolvați în R o inecuație să nu uitați că RASPUNSUL ESTE UN INTERVAL! Rezolvarea mai jos:

REZOLVARE EX. 1):

REZOLVARE EX. 3) Se consideră expresia:

E(x)=(3x+4)²-(2x+1)², unde x este număr real.

a) Arată că E(1)+E(-1)=40.

R: Pentru a calcula E(1), îl înlocuim pe x cu 1 în E(x):

Așadar E(1)=(3⋅1+4)²-(2⋅1+1)²= (3+4)²-(2+1)²=(7)²-(3)²=7⋅7-3⋅3=49-9=40.

Pentru a calcula E(-1), îl înlocuim pe x cu -1 în E(x):

Așadar E(-1)=[3⋅(-1)+4]²-[2⋅(-1)+1]²= (-3+4)²-(-2+1)²=(+1)²-(-1)²=(+1)-(+1)=0.

• Vă reamintesc că un număr negativ ridicat la o putere PARĂ dă un număr POZITIV:
• (-1)²=+1

În concluzie: E(1)+E(-1)=40+0=40.

b) Demonstrează că:

E(n) este multiplu al lui 5, pentru orice număr natural n.

R: Pentru a calcula E(n), îl înlocuim pe x cu n în E(x):

E(n)=(3n+4)²-(2n+1)².

• Pentru a calcula expresia de mai sus, aveți nevoie de formula de calcul:
• (a + b)² =a² +2⋅a⋅b +b²
• (3n + 4)² =(3n)² +2⋅(3n)⋅4 +4²=9n² +24n +16.
• (2n + 1)² =(2n)² +2⋅(2n)⋅1 +1²=4n² +4n +1.

Revenim în E(n):

E(n)=(3n+4)²-(2n+1)²=(9n² +24n +16) – (4n² +4n +1) =>

=> E(n)=9n² +24n +16 – 4n² -4n -1 =9n²  – 4n² +24n -4n +16-1

=> E(n)=5n²  +20n +15. 

Il scoatem pe 5 factor comun:

• E(n)=5⋅(n²  +4n +3) divizibil cu 5.
• Așadar E(n) este multiplu al lui 5, pentru orice număr natural n.

REZOLVARE EX. 5) Se consideră expresia:

E(x)=(2x-1)²-(2x-4)(x+2)+(x+3)², unde x este număr real.

a) Arată că E(x)=3x²+2x+18, pentru orice număr real x.

REZOLVARE a):

b) Demonstrează că numărul natural A=E(n)+n este multiplu de 6, pentru orice număr natural n.

REZOLVARE b):

-Încercați să rezolvați singuri restul fișei de lucru!

-Dacă aveți întrebări nu uitați să mi le adresați în SECȚIUNEA DE COMENTARII DE MAI JOS!

-În funcție de interesul vostru pentru această lecție eu o să revin sau nu cu REZOLVAREA COMPLETĂ!

FIȘA DE LUCRU în format PDF pentru PRINT (listare) și DOWNLOAD:

• FISA-DE-LUCRU-CU-EXPRESII-DIN-TESTELE-DE-ANTRENAMENT-EDU (pregatire EN clasa a 8-a).PDF

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG