Teorie, formule, exemple și probleme rezolvate la geometrie pentru toate teoremele din triunghiul dreptunghic -teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora, teorema unghiului de 30 de grade, teorema medianei și teorema unghiului de 15 grade (exemplele și problemele rezolvate le găsiți după partea teoretică):

A). TEOREMA ÎNĂLȚIMII:

În orice triunghi dreptunghic lungimea înălțimii dusă din vârful unghiului drept este egală cu media geometrică dintre lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

În desenul de mai sus(ΔABC dreptunghic în A) înălțimea corespunzătoare unghiului drept este AD, proiecția catetei AB pe ipotenuza BC este BD iar proiecția catetei AC pe ipotenuza BC este DC.

B). TEOREMA CATETEI:

În orice triunghi dreptunghic lungimea unei catete este egală cu media geometrică (proporțională) dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

În desenul de mai sus(ΔABC dreptunghic în A) construim înălțimea corespunzătoare unghiului drept AD⊥BC, proiecția catetei AB pe ipotenuza BC este BD iar proiecția catetei AC pe ipotenuza BC este CD.

C). Formula înălțimii într-un triunghi dreptunghic. Aria triunghiului dreptunghic:

Fie ΔABC dreptunghic în A, cu AD⊥BC, D∈BC. Dacă notăm cu c1=cateta1=AB, c2=cateta2=AC,ip=ipotenuza=BC și h=AD=înălțimea corezpunzătoare ipotenuzei, obținem următoarele FORMULE pentru înălțimea și aria triunghiului dreptunghic:

VEZI ȘI: 7 modele de teza EDU la matematica -sem 2 -clasa a 7-a + rezolvari (bareme)

D). TEOREMA MEDIANEI:

În orice triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei (mediana dusă din vârful unghiului drept) are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

În ΔABC, m(<BAC)=90°, M∈ [BC], AM mediană ([MC]≡ [MB]) => AM=½BC.

Mă numesc Jitaru Ionel, sunt profesor de matematică iar în timpul liber lucrez cu pasiune la acest blog (www.profesorjitaruionel.com), oferind în mod gratuit acces la rezolvări de variante, lecții de mate (liceu și gimnaziu) și tot ce ține în general de BAC și Evaluarea Națională la matematică dar și la celelalte materii de examen! Tot pe acest blog găsiți și materiale legate de examenele pentru profesori (de TITULARIZARE și DEFINITIVARE)!

E). TEOREMA UNGHIULUI DE 30 DE GRADE (T30): 

Într-un triunghi dreptunghic având un unghi de 30 grade, lungimea catetei opuse unghiului de 30 de grade este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

În desenul de mai sus -ΔABC dreptunghic în A, și cum măsura unghiului C este 30 de grade putem aplica TEOREMA UNGHIULUI DE 30 DE GRADE: lungimea catetei opuse unghiului de 30 de grade (cateta AB) este egală cu ½ din lungimea ipotenuzei BC.

F). TEOREMA lui PITAGORA:

În orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei (latura opusă unghiului drept):

Pentru o mai ușoară înțelegere o să notez cele două catete cu a și b iar ipotenuza cu c și o să aplic TEOREMA lui PITAGORA:

G). TEOREMA UNGHIULUI DE 15 GRADE (T15):

Într-un triunghi dreptunghic având un unghi de 15 grade, lungimea înălțimii construită din vârful unghiului drept este egală cu ¼ din lungimea ipotenuzei.

În desenul de mai sus(ΔABC dreptunghic în A) înălțimea corespunzătoare unghiului drept este AD, și cum măsura unghiului C este 15 grade putem aplica TEOREMA UNGHIULUI DE 15 GRADE: lungimea înălțimii AD este egală cu ¼ din lungimea ipotenuzei BC.

EXEMPLE -PROBLEME REZOLVATE:

PROBLEMĂ REZOLVATĂ -Teorema înălțimii:

În ΔABC dreptunghic în A, cu BC=10 cm, AD⊥BC, D∈BC, BD=2 cm, determinați lungimea înălțimii AD.

PROBLEME REZOLVATE -Teorema lui Pitagora:

Problema 1) Calculați lungimile laturilor necunoscute din figurile de mai jos:

Problema 2) Aflați lungimea unui dreptunghi ce are lățimea egală cu 8√5 cm și diagonala 32 cm.

PROBLEMĂ REZOLVATĂ -Teorema unghiului de 15 grade (T15):

EX. Perimetrul unui romb este egal cu 32 cm. Determinați aria rombului știind că unul dintre unghiurile rombului are măsura de 30 de grade.

REZOLVARE -am rezolvat problema de mai sus folosind TEOREMA UNGHIULUI de 15 GRADE T15:

PROBLEME REZOLVATE -Aria triunghiului dreptunghic. Formula înălțimii într-un triunghi dreptunghic:

Problema 1) Calculați aria triunghiului DEF cu m(<D)=90°, dacă DE=12 cm și DF=8 cm.

Problema 2) Aria unui triunghi dreptunghic este de 40 dm². Știind că înălțimea corespunzătoare ipotenuzei are lungimea de 8 dm, aflați lungimea ipotenuzei triunghiului dreptunghic.

Problema 3) Aflați aria unui triunghi dreptunghic isoscel știind că lungimea ipotenuzei triunghiului este de 12 cm.

Problema 4) Aflați lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic, știind că lungimea ipotenuzei triunghiului este de 5 cm iar lungimea catetelor este de 3 și 4 cm.

Problemă REZOLVATĂ -Teorema CATETEI:

 Ex. În ΔABC dreptunghic în A, AD⊥BC, D∈BC, BD=16 cm și CD=9 cm. Determinați perimetrul triunghiului ABC, lungimea înălțimii AD și aria triunghiului ABC.

REZOLVARE:

• BC=BD+DC=16+9=25 cm
• Aplicăm TEOREMA CATETEI:
• AB²=BD·BC=> AB²=16·25 =>AB=√16·√25=4·5 =>AB=20 cm;
• AC²=CD·BC=> AC²=9·25 =>AC=√9·√25=3·5 =>AC=15 cm;
• Aflăm P=perimetrul triunghiului ABC:
• P=AB+AC+BC=20+15+25 =>P=60 cm;
• Aplicăm TEOREMA ÎNĂLȚIMII:
• AD²=BD·DC=> AD²=16·9 =>AD=√16·√9=4·3 =>AD=12 cm;
• Aflăm A=aria triunghiului ABC (unde c1=cateta 1 și c2=cateta 2):
• A=(c1*c2)/2=(AB*AC)/2=(20*15):2=300:2 =>A=150 cm²;

Q&A MATEMATICA -ajutor gratuit la mate pe facebook:

Un alt proiect drag mie este grupul de facebook: „Q&A matematica -ajutor tema mate Romania”, proiectul pe care l-am creat acum ceva ani. Grupul a ajuns la peste 19000 de membri. În acest grup, elevi care poate nu își permit meditații la matematică sau elevi care pur și simplu nu știu să rezolve o problemă la mate, pot cere ajutorul în grup postând o poză cu exercițiul pe care nu știu să îl rezolve. Cu siguranță cineva din grup vă va oferi ajutorul!

VEZI ȘI: Lecții de matematică -clasa a 7-a -algebră și geometrie

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG