ȘIRURI MĂRGINITE
DEF 1: Se spune că șirul (xn) este mărginit superior (MAJORAT) dacă există b∈R astfel încât xn≤b, ∀n.
DEF 2: Se spune că șirul (xn) este mărginit inferior (MINORAT) dacă există a∈R astfel încât a≤xn , ∀n.
DEFINIȚIE: SE SPUNE CĂ ȘIRUL (xn) ESTE MĂRGINIT DACĂ EXISTĂ NUMERELE REALE a,b∈R astfel încât a≤xn≤b , ∀n.
OBSERVAȚIE: Prin urmare un șir este mărginit dacă există un interval închis [a,b], a,b∈R în care se află toți termenii șirului. Șirul (xn) ESTE MĂRGINIT <=> (∃)M>0 astfel încât |xn|≤M, ∀n.
DEFINIȚIE: SE Un șir care nu este mărginit se numește NEMĂRGINIT.
EXEMPLE -exerciții rezolvate (mărginire):
Să se studieze mărginirea șirurilor:
- xn=1/n, n≥1.
- xn=1+(-1)n, n≥1.
REZOLVARE 1): xn=1/n, n≥1. R: Cum n≥1 => (1/n)≤1 =>xn≤1. Este evident că (1/n)>0=>xn>0. Cum 0<xn≤1 => (xn) ESTE MĂRGINIT.
REZOLVARE 2): xn=1+(-1)n, n≥1. R: Dacă n=2k, k∈N* (n este par) =>xn=1+1=2. Dacă n=2k+1, k∈N (n este impar) =>xn=1+(-1)=1-1=0. Prin urmare xn∈[0,2], ∀n => (xn) ESTE MĂRGINIT.
ȘIRURI MONOTONE
Pentru a stabili monotonia unui șir se calculează diferența a doi termeni consecutivi (xn+1 – xn) sau în cazul în care termenii sunt pozitivi se face câtul a doi termeni consecutivi (xn+1 / xn). Avem rezultatele:
- Dacă xn+1 – xn<0, ∀n, atunci ȘIRUL este STRICT DESCRESCĂTOR (xn+1 < xn);
- Dacă xn+1 – xn>0, ∀n, atunci ȘIRUL este STRICT CRESCĂTOR (xn+1 > xn);
- Dacă xn+1 – xn≤0, ∀n, atunci ȘIRUL este DESCRESCĂTOR (xn+1 ≤ xn);
- Dacă xn+1 – xn≥0, ∀n, atunci ȘIRUL este CRESCĂTOR (xn+1 ≥ xn).
Dacă xn>0 atunci calculăm raportul R=(xn+1 / xn),∀n. Îl comparăm pe R cu 1 și obținem situațiile:
- Dacă R<1 atunci ȘIRUL xn este STRICT DESCRESCĂTOR;
- Dacă R>1 atunci ȘIRUL xn este STRICT CRESCĂTOR;
- Dacă R≤1 atunci ȘIRUL xn este DESCRESCĂTOR;
- Dacă R≥1 atunci ȘIRUL xn este CRESCĂTOR.
EXEMPLE -exerciții REZOLVATE (monotonie):
Să se studieze monotonia șirurilor date prin termenul general xn:
FIȘĂ DE RECAPITULARE -ȘIRURI (analiză matematică -clasa a 11-a):
Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG
Sunteți un real ajutor pentru elevii care au profesori nepotriviți meseriei lor. Mulțumim!
Cu plăcere!
Pana si la facultate am nevoie de ce este aici ,mii de multumiri !!
Cu plăcere!