ȘIRURI MĂRGINITE
DEF 1: Se spune că șirul (xn) este mărginit superior (MAJORAT) dacă există b∈R astfel încât xn≤b, ∀n.
DEF 2: Se spune că șirul (xn) este mărginit inferior (MINORAT) dacă există a∈R astfel încât a≤xn , ∀n.
DEFINIȚIE: SE SPUNE CĂ ȘIRUL (xn) ESTE MĂRGINIT DACĂ EXISTĂ NUMERELE REALE a,b∈R astfel încât a≤xn≤b , ∀n.
OBSERVAȚIE: Prin urmare un șir este mărginit dacă există un interval închis [a,b], a,b∈R în care se află toți termenii șirului. Șirul (xn) ESTE MĂRGINIT <=> (∃)M>0 astfel încât |xn|≤M, ∀n.
DEFINIȚIE: SE Un șir care nu este mărginit se numește NEMĂRGINIT.
EXEMPLE -exerciții rezolvate (mărginire):
Să se studieze mărginirea șirurilor:
- xn=1/n, n≥1.
- xn=1+(-1)n, n≥1.
REZOLVARE 1): xn=1/n, n≥1. R: Cum n≥1 => (1/n)≤1 =>xn≤1. Este evident că (1/n)>0=>xn>0. Cum 0<xn≤1 => (xn) ESTE MĂRGINIT.
REZOLVARE 2): xn=1+(-1)n, n≥1. R: Dacă n=2k, k∈N* (n este par) =>xn=1+1=2. Dacă n=2k+1, k∈N (n este impar) =>xn=1+(-1)=1-1=0. Prin urmare xn∈[0,2], ∀n => (xn) ESTE MĂRGINIT.
ȘIRURI MONOTONE
Pentru a stabili monotonia unui șir se calculează diferența a doi termeni consecutivi (xn+1 – xn) sau în cazul în care termenii sunt pozitivi se face câtul a doi termeni consecutivi (xn+1 / xn). Avem rezultatele:
- Dacă xn+1 – xn<0, ∀n, atunci ȘIRUL este STRICT DESCRESCĂTOR (xn+1 < xn);
- Dacă xn+1 – xn>0, ∀n, atunci ȘIRUL este STRICT CRESCĂTOR (xn+1 > xn);
- Dacă xn+1 – xn≤0, ∀n, atunci ȘIRUL este DESCRESCĂTOR (xn+1 ≤ xn);
- Dacă xn+1 – xn≥0, ∀n, atunci ȘIRUL este CRESCĂTOR (xn+1 ≥ xn).
Dacă xn>0 atunci calculăm raportul R=(xn+1 / xn),∀n. Îl comparăm pe R cu 1 și obținem situațiile:
- Dacă R<1 atunci ȘIRUL xn este STRICT DESCRESCĂTOR;
- Dacă R>1 atunci ȘIRUL xn este STRICT CRESCĂTOR;
- Dacă R≤1 atunci ȘIRUL xn este DESCRESCĂTOR;
- Dacă R≥1 atunci ȘIRUL xn este CRESCĂTOR.
EXEMPLE -exerciții REZOLVATE (monotonie):
Să se studieze monotonia șirurilor date prin termenul general xn:
FIȘĂ DE RECAPITULARE -ȘIRURI (analiză matematică -clasa a 11-a):
Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG
Sunteți un real ajutor pentru elevii care au profesori nepotriviți meseriei lor. Mulțumim!
Cu plăcere!