#BackToSchool

Exercitii rezolvate -FACTOR COMUN (operatii cu numere naturale)

Exerciții rezolvate -FACTOR COMUN (operații cu numere naturale). Găsiți în acest articol și exerciții cu sume Gauss și factor comun. Am adăugat 2 fișe de lucru cu exerciții propuse (fișa 2) și rezolvate (fișa 1):

Numărul a din suma a∙b+a∙c (respectiv diferența a∙b-a∙c) ce apare ca factor la fiecare termen îl vom numi FACTOR COMUN.

Să ne reamintim următoarele proprietăți:

  • distributivitatea înmulțirii față de adunare: 
  • a∙(b+c)=a∙b+a∙c
  • distributivitatea înmulțirii față de scădere: 
  • a∙(b-c)=a∙b-a∙c
  • unde a, b, c sunt numere naturale cu b>c.

Scriind egalitățile de mai sus sub forma:

  • a∙b+a∙c=a∙(b+c)
  • a∙b-a∙c=a∙(b-c)
  • spunem că am scos pe a factor comun.

SCOATEREA FACTORULUI COMUN (formule, exemple):

ATENȚIE! Scoaterea factorului comun se poate aplica și în cazul unei sume (diferențe) de mai mulți termeni:

  • a∙b+a∙c-a∙d+a∙e=a∙(b+c-d+e)
  • 11∙5+11∙9-11∙8+11∙4=11∙(5+9-8+4) =11∙(14-8+4)=11∙(6+4)=11∙10=110
  • ATENȚIE! a∙b+a=a∙b+a∙1=a∙(b+1)
  • 17∙9+17=17∙9+17∙1 =17∙(9+1)=17∙10=170.

EXERCIȚII PROPUSE -FIȘĂ DE LUCRU:

REZOLVARE FIȘĂ DE LUCRU:

  • Am adăugat la finalul acestui articol și a doua fișă de lucru cu exerciții propuse. Tot spre final găsiți cele două fișe de lucru în format PDF pentru IMPRIMARE (print)! SPOR LA LUCRU!

EX. 1) Calculați utilizând factorul comun:

a) 4∙15+4∙45;

  • R: 4∙15+4∙45=
  • =4∙(15+45)=4∙60=
  • =240.

b) 20∙47+20∙3;

  • încercați singuri!
  • R: 1000.

c) 30∙720-220∙30;

  • R: 30∙720-220∙30=
  • =30∙(720-220)=30∙500=
  • =15000.

d) 3514∙1001-3514;

  • R: 3514∙1001-3514=
  • =3514∙(1001-1)=3514∙1000=
  • =3514000.

e) 7756∙999+7756;

  • încercați singuri!
  • R: 7756000.

EX. 2) Calculați folosind scoatarea unui factor comun:

a) 37∙643+37∙612-255∙37;

  • încercați singuri!
  • R: 37000.

b) 6000∙684-83∙6000-6000;

  • R: 6000∙684-83∙60006000=
  • =6000∙(684-83-1)=6000∙600=
  • =3600000.

EX. 3) Știind că x=10 și y-z=19, calculați:

a) 3∙x+5∙y-z∙5;

  • R: 3∙x+5∙y-z∙5=
  • =3∙x+5∙(y-z)=
  • =3∙10+5∙19=
  • =30+95=
  • =125.

b) 7∙x∙y-7∙x∙z;

  • R: 7∙x∙y-7∙x∙z=
  • =7∙x∙(y-z)=
  • =7∙10∙19=
  • =70∙19=
  • =1330.

EX. 4) Calculați următoarele sume:

a) S=2+4+6+…+100;

b) S=3+6+9+…+2013;

c) S=7+14+21+…+700;

ATENȚIE! Să ne reamintim SUMA LUI GAUSS (suma primelor n numere naturale nenule):

  • nenul=diferit de zero;

REZOLVARE EX. 4) Calculați următoarele sume:

a) S=2+4+6+…+100;

  • R: S=2+4+6+…+100
  • S=2∙1+2∙2+2∙3+…+2∙50
  • S=2∙(1+2+3+…+50)
  • S=2∙(50∙51:2)
  • S=2∙(50∙51:2)
  • S=2∙(2550:2)
  • S=2∙1275
  • S=2550.

b) S=3+6+9+…+2013;

  • Încercați singuri c). Spre finalul acestui articol găsiți o a doua fișă de lucru pentru antrenament dar și cele două fișe în format PDF pentru IMPRIMARE!

Un alt exemplu de exercițiu ce se rezolvă cu sume Gauss -EX). Calculați:

  • (4+8+12+…+2020):(2+4+6+…+1010);

  • R: Prima sumă=4+8+12+…+2020.

  • Observăm că 8-4=4, 12-8=4 așadar trebuie să scriem fiecare număr ca un produs ce îl conține pe 4 (apoi îl dăm factor comun pe 4).

  • prima sumă=4∙1+4∙2+4∙3+…+4∙505

  • îl dăm factor comun pe 4:

  • 4∙(1+2+3+…+505)

  • Aplicăm în paranteză formula pentru suma Gauss:

  • 4∙(505∙506:2)

  • 4∙(255530:2)

  • 4∙127765

  • prima sumă=511060.

  • A doua sumă=2+4+6+…+1010.

  • Observăm că 4-2=2, 6-4=2 așadar trebuie să scriem fiecare număr ca un produs ce îl conține pe 2 (apoi îl dăm factor comun pe 2).

  • a doua sumă=2∙1+2∙2+2∙3+…+2∙505

  • îl dăm factor comun pe 2:

  • 2∙(1+2+3+…+505)

  • Aplicăm în paranteză formula pentru suma Gauss:

  • 2∙(505∙506:2)

  • 2∙(255530:2)

  • 2∙127765

  • a doua sumă=255530.

  • Așadar (4+8+12+…+2020):(2+4+6+…+1010)=

  • 511060:255530 =2.

  • OBSERVAȚII: În urma aplicării factorului comun în cele două paranteze am obținut

  • (4+8+12+…+2020):(2+4+6+…+1010)=

  • 4∙(1+2+3+…+505):[2∙(1+2+3+…+505)]

  • Practic avem de împărțit 4 la 2 și o paranteză (1+2+3+…+505) la acceași paranteză (1+2+3+…+505). În acest caz răspunsul este tot 2 deoarece 4:2=2 iar împărțirea parantezelor identice este 1 (fără a calcula sumele din paranteză; când împarți un număr la el însuși răspunsul este întotdeauna 1).

  • Așadar fără sume Gauss:

  • 4∙(1+2+3+…+505):[2∙(1+2+3+…+505)]=

  • =4:2 =2.


*VEZI ȘI LECȚIA: Teorie+ exercitii rezolvate- PUTERI. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Patrat Perfect. Cub Perfect


EX) Un exercițiu rezolvat cu factor comun cu puteri (după recapitularea lecției de mai sus):

  • Arătați că numărul a =( 321 +320 +318) : 37  este pătrat perfect.

  • R: Trebuie să dăm factor comun pe 3 la puterea cea mai mică(în paranteză):

  • a =( 321 +320 +318) : 37

  • Dăm factor comun pe 318 în paranteză:

  • a =318 ∙( 33 +32 +30) : 37 =318 ∙( 27 +9 +1) : 37

  • a=318 ∙37 : 37 =318 ∙1=318.

  • 318=39∙2=(39)2= este pătrat perfect.


EXERCIȚII PROPUSE -FACTOR COMUN. Sume Gauss. FIȘĂ DE LUCRU 2:

FACTOR COMUN. Sume Gauss. FIȘE DE LUCRU în format PDF (pentru imprimare -PRINT):


*VEZI ȘI LECȚIA: Compararea puterilor (explicatii si exercitii rezolvate)

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG

Categorii:#BackToSchool, #ExercitiiRezolvateMatematicaGIMNAZIU, #JitaruIonelBLOG

Etichetat ca:, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

2 răspunsuri »

Lasă un răspuns

Acest site folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.