Unghiul diedru. Unghiul dintre 2 plane (probleme rezolvate geometrie) -clasa a 8-a:

MĂSURA UNGHIULUI A DOUĂ PLANE (secante, suprapuse, paralele, perpendiculare):

A) Dacă cele două plane sunt SUPRAPUSE (coincid), spunem că ele formează un unghi cu măsura de 0 grade: m(<(∝ ,ß))=0°.

B) Dacă cele două plane sunt PARALELE, spunem că ele formează un unghi cu măsura de 0 grade: dacă ∝|| ß =>m(<(∝ ,ß))=0°.

C) Dacă cele două plane sunt PERPENDICULARE, spunem că ele formează un unghi cu măsura de 90 de grade: dacă ∝ ⊥ ß =>m(<(∝ ,ß))=90°.

D) Dacă cele două plane sunt SECANTE, prin unghiul dintre ele înțelegem unghiul plan corespunzător diedrului(DEFINIȚIE, DESEN și EXEMPLE mai jos) cu măsura mai mică de 90 de grade.

UNGHI DIEDRU:

Unghiul diedru este unghiul format de două semiplane(∝ și ß) delimitate de aceeași dreaptă(d), numită muchia diedrului.

UNGHIUL DINTRE 2 PLANE:

Unghiul dintre 2 plane sau unghiul plan corespunzător unui diedru se obține astfel:

Se identifică latura comună celor două plane. Dintr-un punct O al muchiei diedrului (latura comună) se duc 2 perpendiculare, conținute una într-o față, iar cealaltă în cealaltă față a diedrului (câte o perpendiculară din fiecare plan pe latura comună). Așadar unghiul dintre cele două perpendiculare construite reprezintă unghiul dintre cele două plane. Astfel se obține unghiul plan corespunzător unui diedru:

• <(∝ ,ß)=<(AO,BO)=<AOB.
• 

EXEMPLU: 

Fie ABCD un tetraedru regulat cu baza (BCD). Precizați care este unghiul dintre planele (ABC) și (DBC).

REZOLVARE: Pentru a identifica unghiul dintre cele două plane (dintre fața laterală ABC și planul bazei BCD) trebuie să identificăm O LATURĂ COMUNĂ:

• (ABC)∩(BCD)=BC -latura comună celor două plane este BC (desenată cu roșu);
• M (mijlocul laturii BC) este un punct comun pe BC. Fie AM⊥BC și DM⊥BC. Așadar am construit câte o perpendiculară din fiecare plan pe latura comună într-un punct comun(pe M). De obicei cele două plane sunt triunghiuri isoscele sau echilaterale și atunci perpendiculara „cade” pe mijlocul laturii comune: Cum figura este un tetraedru regulat atunci toate fețele sale sunt triunghiuri echilaterale. Planul (ABC) este un triunghi echilateral și atunci perpendiculara căutată o să „cadă” fix pe mijlocul lui BC, aceasta este chiar apotema piramidei AM(AM⊥BC). Planul bazei (BCD) este un triunghi echilateral și atunci perpendiculara DM cade tot pe mijlocul M al laturii BC(DM⊥BC);
• <((ABC),(DBC))=<(AM,DM)=<AMD. Așadar unghiul dintre cele două plane este unghiul dintre cele două perpendiculare construite.

PROBLEME REZOLVATE -Unghiul diedru. Unghiul dintre două plane:

*rezolvările încep după cerința de la ultima problemă*

Problema 1) Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu latura AB=8cm. Calculați:

• a) măsura unghiului diedru format de planele (ABC) și (C’AB);
• b) sinusul unghiului diedru format de planele (D’AC) și (ABC).

Problema 2) Fie ABCA’B’C’ o prismă triunghiulară regulată dreaptă cu AB=18cm și AA’=9cm. Calculați măsura unghiului diedru format de planele (A’BC) și (ABC).

Problema 3) Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu toate fețele laterale triunghiuri echilaterale cu latura de 24 cm. Calculați:

• a) cosinusul unghiului diedru format de planele (ABC) și (VBC);
• b) sinusul unghiului diedru format de planele (VAC) și (VBC).

REZOLVARE Problema 1):

REZOLVARE Problema 2):

Având ca exemple rezolvările de mai sus încercați singuri să rezolvați Problema 3).

Problema 3) -TEMĂ.

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG