#ExercitiiRezolvateMatematicaGIMNAZIU

Clasa a 8-a: probleme rezolvate -geometrie in spatiu (semestrul 1)

Probleme rezolvate geometrie în spațiu (clasa a 8-a, semestrul 1): cum se determină unghiul a doua drepte în spațiu, cum demonstrăm în probleme că o dreaptă este paralelă cu un plan, CUM DEMONSTRĂM CĂ O DREAPTĂ ESTE PERPENDICULARĂ PE UN PLAN:

Unghiul a doua drepte în spațiu:

Când vi se cere unghiul dintre două drepte necoplanare a unei figuri geometrice în spațiu (cub , paralelipiped, piramida etc), păstrați una din cele două drepte iar la cealaltă îi căutați o paralelă care să se intersecteze cu dreapta păstrată inițial (vezi problema 1a)!

PROBLEME REZOLVATE:

PROBLEMA 1) Fie cubul ABCDA’B’C’D’. Determinați măsura unghiurilor formate de dreptele: a)AB și CC’; b)BC și A’D’; c)D’C’ și AC.

REZOLVARE PROBLEMA 1):

problema`1-azi

  • Obs 1. Măsura unghiului dintre două DREPTE PARALELE este de 0 GRADE. 
  • Obs 2. Măsura unghiului dintre două DREPTE PERPENDICULARE este de 90 de GRADE. 

PROBLEMA 2) Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei egală cu muchia laterală. Știind că AB=15cm, aflați măsura unghiurilor formate de dreptele: a)VA și BC; b)VC și AB.

REZOLVARE PROBLEMA 2):

problema2-azi

descarcareUN-LIKE-te rog-la-pagina-mea-de-Facebook-mersi


Cum demonstrăm în probleme că o dreaptă este paralelă cu un plan:

  • TEOREMĂ- Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă inclusă într-un plan atunci ea este paralelă cu planul.

PROBLEMĂ REZOLVATĂ 3):

 Fie un cub ABCDEFGH. Precizați poziția dreptei:

problema3-azi

a) FG față de planul (ABC);

Rezolvare– FG este paralelă cu BC, BC este inclusă în (ABC) => FG||(ABC).

b) AB față de planul (ABCD);

Rezolvare– dreapta AB este CONȚINUTĂ în planul (ABCD) – (se află în plan; are două puncte în comun cu planul- A și B)

c) BH față de planul (CAB);

Rezolvare-dreapta BH INTERSECTEAZĂ planul (CAB)-(BH și planul au în comun un singur punct-B).

PROBLEMĂ REZOLVATĂ 4):

 Fie un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH. Demonstrați că:

problema4-azi

a) EA||(BCG);

Rezolvare 1– EA||BF și BF||CG=> EA||CG. Cum EA||CG iar CG este inclusă în planul (BCG)=>

EA||(BCG).

Rezolvare 2– EA||BF și BF este inclusă în planul (FBCG)=> EA||(FBCG)=> EA||(BGC).

b) EF||(BCD);

Rezolvare– EF||AB și AB inclusă în (ABCD)=>

EF||(ABCD)=> EF||(BCD).

  • O să TE ROG să dai un LIKE la pagina mea de FACEBOOK și o distribuire la acest articol (iar eu o să scriu noi articole cu lecții din gimnaziu și liceu cu teorie + exerciții rezolvate): facebook.com/ ProfesorJitaruIonelBlog/

CUM DEMONSTRĂM CĂ O DREAPTĂ ESTE PERPENDICULARĂ PE UN PLAN:

  • TEOREMĂ– Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan atunci ea este perpendiculară pe plan. 
  • Numim dreaptă perpendiculară pe un plano dreaptă perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan. Așadar, dacă într-o problemă vi se dă că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci știți că acea dreaptă este perpendiculară pe toate dreptele din plan

PROBLEMĂ REZOLVATĂ 5):  În cubul ABCDA’B’C’D’ demonstrați că DD’ este perpendiculară pe planul (DAC). 

problema5-azi

  • R: DD’ este perpendiculară pe AD,
  • DD’ este perpendiculară pe DC,
  •  dreptele AD și DC sunt concurente(se intersectează în D) și se află în planul (DAC) =>

=>DD’ este perpendiculară pe planul (DAC). 

PROBLEMĂ REZOLVATĂ 6): În cubul ABCDA’B’C’D’ demonstrați că CC’ este perpendiculară pe AB. 

problema6-azi

R: AB face parte din planul ABCD. Așadar dacă demonstrăm că CC’ este perpendiculara pe planul (ABCD), conform definiției o să rezulte că CC’ este perpendiculară pe orice dreaptă din planul (ABCD), inclusiv pe AB.

Dem că CC’ este perpendiculară pe (ABCD): CC’ este perpendiculară pe DC, și CC’ este perpendiculară pe CB +dreptele DC și CB sunt concurente(se intersectează în C) și se află în planul (ABCD)=> CC’ este perpendiculară pe planul (ABCD) => CC’ este perpendiculară pe AB.

*Blogul meu a ajuns la 20 de milioane de vizite! Vă mulțumesc! #JitaruIonelBLOG


  • OBSERVAȚIE– Dintr-un punct exterior unui plan putem construi o singură perpendiculară pe acel plan!
  • DISTANȚA DE LA UN PUNCT LA UN PLAN: DEFINIȚIE– Distanța de la un punct la un plan reprezintă lungimea segmentului determinat de acel punct și piciorul perpendicularei din punct pe planul dat. EXEMPLUVO-înălțimea piramidei VABCD-reprezintă distanța de la punctul V la planul ABCD.

*VEZI ȘI: Simulare ENVIII2020: modele oficiale EDU(cu REZOLVARE) de SIMULARE a Evaluării Naționale (doar SUBIECTUL al II-lea) -clasa a 8-a

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG

Categorii:#ExercitiiRezolvateMatematicaGIMNAZIU, #JitaruIonelBLOG, Evaluarea Națională 2020

Etichetat ca:, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Lasă un răspuns

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.