Acces gratuit la lecții de MATEMATICĂ (gimnaziu):

Capitolul DIVIZIBILITATE -teorie, exemple și exerciții REZOLVATE:

–divizor, multiplu, divizibilitate, criterii de divizibilitate, numere prime și compuse, descompunerea în factori primi,

–CMMDC (cel mai mare divizor comun), numere prime între ele, CMMMC (cel mai mic multiplu comun)

–platforma JitaruIonelBLOG

LECȚIA 1) Divizor.Multiplu:

LECȚIA 2) Criterii de divizibilitate cu 2, 3, 4, 5, 9 , 10 si 25:

Criteriul de divizibilitate cu 2:

Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă are ultima cifră pară.

Exemplu:

Criteriul de divizibilitate cu 3:

Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3.

Exemplu:

Criteriul de divizibilitate cu 4:

Un număr este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale numărului formează un număr divizibil cu 4.

Exemplu:

Criteriul de divizibilitate cu 5:

Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă are ultima cifră 0 sau 5.

Exemplu:

Criteriul de divizibilitate cu 9:

Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 9.

Exemplu:

Criteriul de divizibilitate cu 10:

Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă are ultima cifră 0.

Exemplu:

Criteriul de divizibilitate cu 25:

Un număr este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale numărului formează un număr divizibil cu 25.

Exemplu:

LECȚIA 3) Numere prime. Numere compuse:

DEFINIȚIE – Un număr natural n ce are ca divizori doar pe 1 și pe el însuși (n) se numește NUMĂR PRIM.

Exemple de numere prime până la 100 – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

• OBS 1-Primul număr prim este 2 iar numărul 1 nu este considerat ca fiind prim!
• OBS 2– Numărul natural 2 este singurul număr prim și par!
• OBS 3– În afară de 2 toate numerele prime sunt numere impare!

DEFINIȚIE – Un număr natural n se numește COMPUS dacă nu este prim!

Exemple de numere compuse- 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,….

OBS 541 este al 100-lea număr prim!

PRIMELE 100 de numere PRIME: 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.

Mă numesc Jitaru Ionel, sunt profesor de matematică iar în timpul liber lucrez cu pasiune la acest blog (www.profesorjitaruionel.com), oferind în mod gratuit acces la rezolvări de variante, lecții de mate (liceu și gimnaziu) și tot ce ține în general de BAC și Evaluarea Națională la matematică dar și la celelalte materii de examen! Tot pe acest blog găsiți și materiale legate de examenele pentru profesori (de TITULARIZARE și DEFINITIVARE)!

LECȚIA 4) Descompunerea in factori primi. CMMDC (cel mai mare divizor comun). Numere prime intre ele:

A) Descompunerea în factori primi:

• Descompunerea unui număr natural compus în produs de puteri -numită și descompunerea în factori primi- se face împărțind acel număr la numerele prime luate în ordine crescătoare și se rețin acelea la care împărțirea se face exact.

EXERCIȚII REZOLVATE-Descompunerea in factori primi:

• PROBLEMA 1 -Descompuneți în factori primi 10, 48, 125, 15, 49, 18, 30 și 2200. OBS- Fiecare cifră ZERO dintr-o descompunere se scrie ca un 2 ori 5 !
• REZOLVARE:

B) CMMDC (cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale):

• Un număr natural d se numește divizor comun pentru două numere naturale a și b, dacă d/a și d/b. Ex. 5 este divizor comun pentru 10 și 35, deoarece 5/10 și 5/35.
• Cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale, nu toate nule, este cel mai mare număr natural care divide fiecare număr dat.

CUM SE CALCULEAZĂ CMMDC:

-CMMDC sau cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale se determină astfel:

-se descompun numerele date în produs de factori primi;

–se face PRODUSUL FACTORILOR COMUNI luați o singură dată la EXPONENTUL CEL MAI MIC.

-NOTAȚIE (a;b) = CMMDC pentru numerele naturale a și b; (a;b;c)= CMMDC pentru a,b și c etc.

EXERCIȚII REZOLVATE cu CMMDC:

• PROBLEMA 2 –Determinați a) (75;250); b)(840;2772); c)(36;180;234).
• REZOLVARE:

 În mai 2014 am început acest proiect (#JitaruIonelBLOG -un „blog dedicat elevului”) din dorința de a ajuta în mod gratuit cât mai mulți elevi (dar și părinți) cu materia ce sperie pe toată lumea: MATEMATICA! La acest proiect lucrez SINGUR, din pasiune, în timpul meu liber! Iar munca mea este răsplătită prin succesul de care se bucură acest blog, milioane de utilizatori au accesat materialele postate de mine. Vă mulțumesc!

• AJUTĂ ȘI TU LA DEZVOLTAREA PROIECTULUI #JitaruIonelBLOG!

• Dacă apreciezi munca mea la acest blog atunci poți ajuta contribuind la costul anual de întreținere al blogului. Până în acest moment am plătit singur această taxă către wordpress în fiecare an (în jur de 300 de euro!). Timp de 8 ani am investit peste 3000 de euro în acest blog (pe taxa anuala si pe reclamele de promovare a articolelor astfel incat lectiile gratuite sa fie vazute de cat mai multi elevi; pe lângă miile de ore investite în lecțiile cu acces gratuit!).

• Poți ajuta cu orice sumă dorești! Ai nevoie doar de un card bancar:

• https:// revolut.me/ionelblog

• Pașii de urmat sunt simpli: click pe link, introdu suma în lei, alege plata cu cardul și asta este tot (nu ai nevoie de revolut pentru a face asta)!
• revolut.me/ionelblog
• Întrucât suntem o comunitate mare de oameni am zis să cer ajutorul vostru pentru plata acestei taxe (de exemplu dacă 100 de oameni contribuie cu 20 lei taxa este plătită). Această taxă ajută în primul rând la stocarea nelimitată de fișiere PDF în site (pe lângă altele -domeniu, siguranța că acest site nu o să pice, acces la diferite aplicații etc.), ceea ce este foarte important pentru ca acest blog să continuie să funcționeze normal!

• https://revolut.me/ionelblog

• SAU IBAN –Cont bancar (titular cont JITARU IONEL):

• RO73 BREL 0005 5030 0257 0100

• ATENȚIE! Accesul rămâne gratuit indiferent dacă contribuiți sau nu dar aș aprecia foarte mult orice contibuție! Vă mulțumesc!

C) NUMERE PRIME ÎNTRE ELE:exemple de numare prime

• DEF– Două numere naturale a și b se numesc PRIME ÎNTRE ELE dacă (a;b)=1.

TEOREMA LUI GAUSS: Dacă a, b și c sunt numere naturale astfel încât a/(b ori c) și (a;b)=1 atunci a/c.

EXERCIȚII REZOLVATE NUMERE PRIME ÎNTRE ELE:

• PROBLEMA 3 –Arătați că următoarele numere sunt prime între ele a) 24 și 35; b) 32 și 75. 
• REZOLVARE:

LECȚIA 4) Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c):

-Un număr natural m se numește MULTIPLU COMUN pentru numerele naturale a și b, dacă m este divizibil cu a și m este divizibil cu b. Ex. 24 este multiplu comun pentru 6 și 8 , deoarece 24 este divizibil cu 6 și 24 este divizibil cu 8.

  -DEF– Cel mai mic multiplu comun (C.M.M.M.C) a mai multor numere naturale nenule este cel mai mic număr natural diferit de zero, care este divizibil cu fiecare număr dat.

 –NOTAȚIE c.m.m.m.c pentru a și b= [a;b]

–METODĂ de calcul (c.m.m.m.c pentru 2 sau mai multe numere naturale):

-se descompun numerele în produs de factori primi;

-se face PRODUSUL FACTORILOR COMUNI ȘI NECOMUNI luați o singură dată la PUTEREA cea mai MARE.

EXERCIȚII rezolvate -CEL MAI MIC MULTIPLU COMUN:

• 1) Aflați c.m.m.m.c pentru 12, 20 și 75.
• 2) Aflați [S1;S2] pentru S1=1+2+…+20 si S2=1+2+…+24.
• REZOLVARE:

Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c.:

• (a;b)*[a;b]=a*b, unde *=înmulțire(ORI)

• EXEMPLE-exerciții rezolvate:

Q&A MATEMATICA -ajutor gratuit la mate pe facebook:

-Un alt proiect drag mie este grupul de facebook: „Q&A matematica -ajutor tema mate Romania”, proiectul pe care l-am creat acum ceva ani.

-Grupul a ajuns la peste 27000 de membri.

-În acest grup, elevi și părinți care nu știu să rezolve o problemă la mate, pot cere ajutorul în grup postând o poză cu exercițiul pe care nu știu să îl rezolve.

-Cu siguranță cineva din grup vă va oferi ajutorul!

Alte lecții utile de mate:

• LECȚIA 1 -Numere întregi: Exercitii rezolvate cu NUMERE INTREGI (fisa de lucru si test)

• LECȚIA 2 -Numere raționale: Numere rationale (teorie, exemple, exercitii rezolvate si test)

• LECȚIA 3 -Procente și probabilități: Exercitii rezolvate (la matematica) cu procente si probabilitati

• LECȚIA 4 -Mărimi direct(invers) proporționale: Exercitii rezolvate cu marimi DIRECT (INVERS) proportionale (matematica -gimnaziu)

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG