Ecuații cu MODUL rezolvate:

ATENȚIE!

• |x|=a <=> x=±a, a>0, x∈R;
• Exp:
• EX 1) Să se rezolve în R ecuația |x-2|=4.
• Rezolvare:
• |x-2|=4 => x-2=±4.
• x-2=-4 /+2 =>x=-4+2
• =>x=-2, -2∈R.
• x-2=4 =>x=4+2
• =>x=6, 6∈R.
• Soluțiile sunt x=-2 și x=6.
• EX 2) Să se rezolve în Z ecuația |4x+1|=7.
• Rezolvare:
• |4x+1|=7 => 4x+1=±7.
• 4x+1=-7 /-1 =>4x=-7-1
• =>4x=-8 /:4
• =>x=-8:4
• =>x=-2, -2∈Z.
• 4x+1=7 =>4x=7-1
• =>4x=6 /:4
• =>x=6/4 (6 supra 4)
• =>simplificăm prin 2
• =>x=3/2, dar 3/2 (3 supra 2) nu este număr întreg.
• x=3/2∉Z. Așadar x=3/2 nu este soluție a ecuației.
• =>Soluția ecuației este x=-2.

OBS: 1) Soluția ecuației |x|=0 este x=0, oricare ar fi x număr real (rațional, întreg sau natural);

• EX) Să se rezolve în Z ecuația |x-5|=0.
• |x-5|=0 =>x-5=0
• =>x=0+5 =>x=5, x∈Z.

OBS: 2) Ecuația |x|= -a NU ARE SOLUȚIE dacă a este un număr pozitiv.

• EX) Să se rezolve în Q ecuația |x|=-5.
• |x|=-5 =>x∈Ø (x aparține mulțimii VIDE). Ecuația nu are soluție.
• Așadar ecuația nu are soluție deoarece un număr pozitiv (|x|≥0) nu poate fi egal cu un număr negativ(-5<0).
• Răspunsul este același (ecuația nu are soluție) indiferent de ce numere aveți sub modul:
• EX) Să se rezolve în R ecuația |4x-6|=-1.
• |4x-6|=-1 =>ecuația nu are soluție în R.

SĂ NE REAMINTIM definiția și câteva proprietăți de bază pentru MODUL!

Ecuații rezolvate cu modul în mulțimea numerelor raționale (Q):

• dacă cerința era „să se rezolve ecuațiile în R” (în loc de Q), rezolvarea de mai jos este identică!
• S=mulțimea soluțiilor ecuațiilor.

Ecuații rezolvate cu modul în mulțimea numerelor reale (R):

EX 1) Determinați x∈R astfel încât |x|=√3 (radical din 3).

• R: |x|=√3 =>x=±√3.
• Verificare: |-√3|=√3 și |+√3|=√3 adevărat (A).
• Soluțiile sunt x=-√3∈R și x=√3∈R.

EX 2) Determinați x∈R astfel încât |x-√2|=√8 (radical din 8).

• R: |x-√2|=√8 =>x-√2=±√8.
• Dar √8=2√2
• x-√2=±2√2
• x-√2=-2√2 =>x=-2√2+√2
• =>x=-1√2 =>x=-√2.
• -√2∈R.
• x-√2=2√2 =>x=2√2+√2
• =>x=3√2.
• 3√2∈R.
• Verificare: |-√2-√2|=|-2√2| =|-√8|=√8 (A)
• și |3√2-√2|=|2√2| =|√8|=√8 (A)
• Soluțiile sunt x=-√2 și x=3√2.

Rezolvarea unei ecuații cu modul dublu în R:

VEZI ȘI LECȚIILE: 

*LECȚIA 1: Exercitii rezolvate -FACTOR COMUN (operatii cu numere naturale)

*LECȚIA 2: Rădăcina pătrată. Tabel cu principalii radicali pe care îi folosiți în calcule

*LECȚIA 3: Exercitii rezolvate -Multimea numerelor IRATIONALE (R\Q). Cum determinati daca un numar este intreg, real, rational, natural sau irational

*LECȚIA 4: Exercitii REZOLVATE cu Inecuatii in R (intervale nemarginite, simetrice, inecuatii cu MODUL)

Să aveți o zi frumoasă! #JitaruIonelBLOG