#Lecții de mate -Teorie, exemple și exerciții REZOLVATE -Cel mai mare divizor comun (C.M.M.D.C). Cel mai mic multiplu comun (C.M.M.M.C), descompunerea în factori primi, numere prime între ele, legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C:

A) Descompunerea în factori primi. CMMDC (cel mai mare divizor comun). Numere prime între ele:

1) Descompunerea în factori primi:

• Descompunerea unui număr natural compus în produs de puteri -numită și descompunerea în factori primi- se face împărțind acel număr la numerele prime luate în ordine crescătoare și se rețin acelea la care împărțirea se face exact.

EXERCIȚII REZOLVATE-Descompunerea în factori primi:

• PROBLEMA 1) -Descompuneți în factori primi 10, 48, 125, 15, 49, 18, 30 și 2200. OBS- Fiecare cifră ZERO dintr-o descompunere se scrie ca un 2 ori 5 !
• REZOLVARE Problema 1):

• ATENȚIE! Vă recomand să recapitulați noțiunile de DIVIZOR, MULTILPU, NUMĂR PRIM:
• Recap. 1 –Divizor.Multiplu (teorie+exercitii rezolvate matematica)
• Recap. 2-NUMERE PRIME. Toate numerele prime pana la 100, 500, 1000 si 10000

2) C.M.M.D.C (cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale):

• Un număr natural d se numește divizor comun pentru două numere naturale a și b, dacă d/a și d/b. Ex. 5 este divizor comun pentru 10 și 35, deoarece 5/10 și 5/35.
• Cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale, nu toate nule, este cel mai mare număr natural care divide fiecare număr dat.

CUM SE CALCULEAZĂ CMMDC:

• CMMDC sau cel mai mare divizor comun a două sau mai multor numere naturale se determină astfel:
• se descompun numerele date în produs de factori primi;
• se face PRODUSUL FACTORILOR COMUNI luați o singură dată la EXPONENTUL CEL MAI MIC.

NOTAȚIE (a;b) = CMMDC pentru numerele naturale a și b; (a;b;c)= CMMDC pentru a,b și c etc.

EXERCIȚII REZOLVATE cu CMMDC:

• PROBLEMA 2) –Determinați a) (75;250); b)(840;2772); c)(36;180;234).
• REZOLVARE Problema 2):

3) NUMERE PRIME ÎNTRE ELE:

• DEF– Două numere naturale a și b se numesc PRIME ÎNTRE ELE dacă (a;b)=1.

TEOREMA LUI GAUSS: Dacă a, b și c sunt numere naturale astfel încât a/(b ori c) și (a;b)=1 atunci a/c.

EXERCIȚII REZOLVATE cu NUMERE PRIME ÎNTRE ELE:

• PROBLEMA 3) –Arătați că următoarele numere sunt prime între ele a) 24 și 35; b) 32 și 75. 
• REZOLVARE Problema 3):

B) Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c):

• Un număr natural m se numește MULTIPLU COMUN pentru numerele naturale a și b, dacă m este divizibil cu a și m este divizibil cu b. Ex. 24 este multiplu comun pentru 6 și 8 , deoarece 24 este divizibil cu 6 și 24 este divizibil cu 8.
•   DEF– Cel mai mic multiplu comun (C.M.M.M.C) a mai multor numere naturale nenule este cel mai mic număr natural diferit de zero, care este divizibil cu fiecare număr dat.
•   NOTAȚIE c.m.m.m.c pentru a și b= [a;b]

  METODĂ de calcul (c.m.m.m.c pentru 2 sau mai multe numere naturale):

• se descompun numerele în produs de factori primi;
• se face PRODUSUL FACTORILOR COMUNI ȘI NECOMUNI luați o singură dată la PUTEREA cea mai MARE.

EXERCIȚII rezolvate -CEL MAI MIC MULTIPLU COMUN:

• EX. 1) Aflați c.m.m.m.c pentru 12, 20 și 75.
• EX. 2) Aflați [S1;S2] pentru S1=1+2+…+20 si S2=1+2+…+24.
• REZOLVARE:

Legătura dintre cel mai mare divizor comun (C.M.M.D.C) și cel mai mic multiplu comun (C.M.M.M.C):

• (a;b)·[a;b]=a·b

• EXEMPLE -exerciții rezolvate:

DESPRE MINE